Integrovanie funkcie viacerých reálnych premenných 

Dvojný integrál 

Popis oblasti 

Príklad 2:  Rozhodnite, či oblasť $M$ tvaru konvexného štvoruholníka s vrcholmi $[1; 1]$, $[3; 1]$, $[2; 2]$ a $[1; 2]$  je elementárnou oblasťou typu $[x,y]$, prípadne $[y,x]$. Ak áno, popíšte ju. 

Riešenie: Oblasť $M$ si načrtneme.

Z obrázka vidno, že pre $x\in\langle 1; 2\rangle$ sú $y$-nové súradnice bodov z oblasti  $M$ z intervalu $\langle 1; 2\rangle$, pre $x\in\langle 2; 3\rangle$ je ohraničenie pre $y$-nové súradnice bodov oblasti $M$ iné.
Oblasť $M$ preto nemožno popísať ako elementárnu oblasť typu $[x,y]$.

Možno ju však popísať ako elementárnu oblasť typu $[y,x]$.
Horné a dolné ohraničenie pre $y$-nové súradnice bodov oblasti $M$ dávajú priamky $y=1$ a $y=2$.
Dolné ohraničenie pre $x$-ové súradnice bodov oblasti $M$ dáva priamka $x=1$.
Horné ohraničenie pre $x$-ové súradnice bodov oblasti $M$ dáva priamka $p$ prechádzajúca bodmi $[3; 1]$ a $[2; 2]$, ktorej smerový vektor je $\vec{s}=[2; 2]-[3; 1]=(-1; 1)$, normálový vektor $\vec{n}=(1; 1)$. Jej všeobecnú rovnicu získame z tvaru $ax+by+c=0$ pre $(a; b)=\vec{n}=(1; 1)$ a konštantu $c$ určíme z rovnice $1x_0+1y_0+c=0$ pre $[x_0; y_0]=[2; 2]$. Všeobecná rovnica priamky $p$ je teda $1x+1y-4=0$, odkiaľ $x=4-y$.

Popis oblasti $M$ ako elementárnej oblasti typu $[y,x]$ je potom:
$$1\leq y\leq 2,$$
$$1\leq x \leq 4-y.$$

Integrovanie funkcie viacerých reálnych premenných 

Dvojný integrál 

Príklad 1: Vypočítajte
$$\int_0^1\int_0^{x^2} 1 \ \mathrm{d}y \ \mathrm{d}x$$

Riešenie: 
$$\int_0^1\int_0^{x^2} 1 \ \mathrm{d}y \ \mathrm{d}x = \int_0^1 \left[ y\right]_0^{x^2} \ \mathrm{d}x = \int_0^1 \left(x^2 - 0 \right) \ \mathrm{d}x = \left[\frac{x^{3}}{3}\right]_0^1=\frac{1^{3}}{3}-\frac{0^{3}}{3}=\frac{1}{3}.$$

Integrovanie funkcie viacerých reálnych premenných 

Dvojný integrál  

Príklad 2: Pomocou vhodnej transformácie určte
$$\iint_M (x^2+y^2) \ \mathrm{d} M, $$
ak M je oblasť určená nerovnicami $x^2+y^2\leq 4$, $y\geq-x$, $y\geq0.$

Riešenie: Oblasť $M$ predstavuje výsek z kruhu $x^2+y^2\leq 4$.
Popíšeme si ju pomocou transformácie do polárnych súradníc:
$x=\rho\cos\varphi$, $y=\rho\sin\varphi$ pre $0\leq\rho\leq 2$, $0\leq\varphi\leq\frac{3\pi}{4}$.
Hodnota Jakobiánu je $|{\cal{J}}|=\rho$.

Príslušný integrál vypočítame nasledovne:
$$\iint_M (x^2+y^2) \ \mathrm{d}M=\int^2_0\int^\frac{3\pi}{4}_0 (\rho^2\cos^2\varphi+\rho^2\sin^2\varphi)\rho \ \mathrm{d}\varphi \ \mathrm{d}\rho$$
$$=\int^2_0\int^\frac{3\pi}{4}_0\rho^2\underbrace{(\cos^2\varphi+ \sin^2\varphi)}_1\rho \ \mathrm{d}\varphi \ \mathrm{d}\rho$$
$$=\int^2_0\int^\frac{3\pi}{4}_0\rho^3 \ \mathrm{d}\varphi \ \mathrm{d}\rho=\int^2_0 \rho^3 \int^\frac{3\pi}{4}_0 1 \ \mathrm{d}\varphi \ \mathrm{d}\rho$$
$$=\int^2_0 \rho^3  \left[\varphi\right]^\frac{3\pi}{4}_0 \ \mathrm{d}\rho=\int^2_0  \rho^3 \left[\frac{3\pi}{4} - 0\right] \mathrm{d}\rho$$
$$=\frac{3\pi}{4} \int^2_0 \rho^3 \ \mathrm{d}\rho  =\frac{3\pi}{4}\left[\frac{\rho^4}{4}\right]^2_0=\frac{3\pi}{4}\left[\frac{2^4}{4} -\frac{0^4}{4}\right] = 3\pi.$$

Integrovanie funkcie viacerých reálnych premenných 

Dvojný integrál 

Trojný integrál 

Príklad 3: Vypočítajte objem telesa ohraničeného plochami
$y=\sqrt{x}$, $y=2\sqrt{x}$, $x+z=4$, $z=0$.

Riešenie: Objem tohto telesa môžeme vypočítať podľa vzťahu
$$v=\iiint_{A} 1  \ \mathrm{d}x \ \mathrm{d}y \ \mathrm{d}z,$$
kde A je popísaná nerovnosťami
$$0\leq x\leq 4, \quad
\sqrt{x}\leq y \leq 2 \sqrt{x}, \quad
0\leq z \leq 4-x,$$
alebo podľa vzťahu
$$v=\iint_{M} (f(x,y)-q(x,y)) \ \mathrm{d}x \ \mathrm{d}y,$$
kde M je popísaná nerovnosťami
$$0\leq  x \leq 4, \quad
\sqrt{x}\leq y \leq 2 \sqrt{x}, \quad $$
pričom $f(x,y)=4-x$   a   $g(x,y)=0$. 

Obe možnosti, prirodzeme, sú správne. Vedú k identickému výsledku. 

$$V=\int^{4}_{0}\int^{2\sqrt{x}}_{\sqrt{x}} \int^{4-x}_{0}1 \ \mathrm{d}z \ \mathrm{d}y \ \mathrm{d}x = \int^{4}_{0}\int^{2\sqrt{x}}_{\sqrt{x}}\left[z\right]^{4-x}_{0} \ \mathrm{d}y\ \mathrm{d}x$$
$$=\int^{4}_{0}\int^{2\sqrt{x}}_{\sqrt{x}}((4-x)-0)\ \mathrm{d}y\  \mathrm{d}x=\int^{4}_{0}\int^{2\sqrt{x}}_{\sqrt{x}} (4-x) \  \mathrm{d}y \ \mathrm{d}x$$
$$=\int^{4}_{0}\left[4y-xy\right]^{2\sqrt{x}}_{\sqrt{x}} \ \mathrm{d}x=
\int^{4}_{0} (4(2\sqrt{x})-x(2\sqrt{x}))-(4 \sqrt{x}-x\sqrt{x}) \ \mathrm{d}x$$
$$=\int^{4}_{0}\left(8 x^{\frac{1}{2}}-2  x^{\frac{3}{2}}-4  x^{\frac{1}{2}}+x^{\frac{3}{2}} \right) \ \mathrm{d}x=\int^{4}_{0} \left(4 x^{\frac{1}{2}}-x^{\frac{3}{2}}\right) \ \mathrm{d}x = \left[4\frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}-\frac{x^{\frac{5}{2}}}{\frac{5}{2}}\right]^{4}_{0}$$
$$=\left(4  \frac{2}{3}   (\sqrt{4})^{3}-\frac{2}{5} (\sqrt{4})^{5}\right) -(0-0)=\frac{8}{3}\cdot 8-\dfrac{2}{5}\cdot 32 =\frac{64}{3}-\frac{64}{5}=\frac{128}{15}.$$ 

$$V=\int^{4}_{0}\int^{2\sqrt{x}}_{\sqrt{x}}((4-x)-0)\ \mathrm{d}y\  \mathrm{d}x=\int^{4}_{0}\int^{2\sqrt{x}}_{\sqrt{x}} (4-x) \  \mathrm{d}y \ \mathrm{d}x$$
$$=\int^{4}_{0}\left[4y-xy\right]^{2\sqrt{x}}_{\sqrt{x}} \ \mathrm{d}x=
\int^{4}_{0} (4(2\sqrt{x})-x(2\sqrt{x}))-(4 \sqrt{x}-x\sqrt{x}) \ \mathrm{d}x$$
$$=\int^{4}_{0}\left(8 x^{\frac{1}{2}}-2  x^{\frac{3}{2}}-4  x^{\frac{1}{2}}+x^{\frac{3}{2}} \right) \ \mathrm{d}x=\int^{4}_{0} \left(4 x^{\frac{1}{2}}-x^{\frac{3}{2}}\right) \ \mathrm{d}x = \left[4\frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}-\frac{x^{\frac{5}{2}}}{\frac{5}{2}}\right]^{4}_{0}$$
$$=\left(4  \frac{2}{3}   (\sqrt{4})^{3}-\frac{2}{5} (\sqrt{4})^{5}\right) -(0-0)=\frac{8}{3}\cdot 8-\dfrac{2}{5}\cdot 32 =\frac{64}{3}-\frac{64}{5}=\frac{128}{15}.$$

Objem telesa je $\dfrac{128}{15}$ jednotiek kubických.

Integrovanie funkcie viacerých reálnych premenných 

Trojný integrál 

Príklad 4: Vypočítajte
$$\int_0^2\int_0^{2\pi}\int_{\frac{\rho^2}{2}}^2\rho^3 \ \mathrm{d}u \ \mathrm{d}\varphi \ \mathrm{d}\rho$$

Riešenie:
$$\int_0^2 \int_0^{2\pi} \int_{\frac{\rho^2}{2}}^2 \rho^3 \ \mathrm{d}u\ \mathrm{d}\varphi \ \mathrm{d}\rho$$
$$=\int_0^2\int_0^{2\pi}\rho^3\int_{\frac{\rho^2}{2}}^2 1 \ \mathrm{d}u\ \mathrm{d}\varphi \ \mathrm{d}\rho=\int_0^2\int_0^{2\pi}\rho^3\big[u\big]_{\frac{\rho^2}{2}}^2 \ \mathrm{d}\varphi \ \mathrm{d}\rho$$
$$=\int_0^2\int_0^{2\pi}\rho^3\left[2-\frac{\rho^2}{2}\right]\mathrm{d}\varphi\ \mathrm{d}\rho=  \int_0^2\int_0^{2\pi} \left(2\rho^3-\frac{\rho^5}{2}\right)\mathrm{d}\varphi \ \mathrm{d}\rho$$
$$=\int_0^2\left[2\rho^3\varphi-\frac{\rho^5}{2}\varphi\right]_0^{2\pi}\mathrm{d}\rho=\int_0^2\left(\left(2\rho^{3}2\pi-\frac{\rho^5}{2}2\pi\right)-\left(2\rho^{3}0-\frac{\rho^5}{2}0\right)\right) \mathrm{d}\rho$$
$$=\int_0^2 \left(4\pi\rho^3-\pi\rho^5\right) \mathrm{d}\rho=  \left[4\pi\frac{\rho^4}{4}-\pi\frac{\rho^6}{6}\right]_0^2$$
$$=\left(4\pi\frac{2^4}{4}-\pi\frac{2^6}{6}\right)-\left(4\pi\frac{0^4}{4}-\pi\frac{0^6}{6}\right)=16\pi-\frac{32}{3}\pi=\frac{16}{3}\pi.$$

Integrovanie funkcie viacerých reálnych premenných 

Trojný integrál  

 

Príklad 5: Vypočítajte
$$\int_0^4\int_{\sqrt{u}}^{2\sqrt{u}}\int_0^{4-u}1 \ \mathrm{d}\varphi \ \mathrm{d}\rho \ \mathrm{d}u. $$

Riešenie:
$$\int_0^4\int_{\sqrt{u}}^{2\sqrt{u}}\int_0^{4-u}1 \ \mathrm{d}\varphi\ \mathrm{d}\rho \ \mathrm{d}u=\int_0^4\int_{\sqrt{u}}^{2\sqrt{u}}\big[\varphi\big]_0^{4-u} \ \mathrm{d}\rho \ \mathrm{d}u$$
$$=\int_0^4\int_{\sqrt{u}}^{2\sqrt{u}}((4-u)-0) \ \mathrm{d}\rho \ \mathrm{d}u=\int_0^4 \big[4\rho-u\rho\big]_{\sqrt{u}}^{2\sqrt{u}} \ \mathrm{d}u$$
$$=  \int_0^4\big(4(2\sqrt{u})-u(2\sqrt{u})\big)-(4\sqrt{u}-u\sqrt{u}) \ \mathrm{d}u $$
$$=\int_0^{4} \left(8u^{\frac{1}{2}}-2u^{\frac{3}{2}}-4u^{\frac{1}{2}}+u^{\frac{3}{2}}\right) \ \mathrm{d}u=\int_0^{4} \left(4u^{\frac{1}{2}}-1u^{\frac{3}{2}}\right) \ \mathrm{d}u=\left[4\frac{u^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}-\frac{u^{\frac{5}{2}}}{\frac{5}{2}}\right]_0^4$$
$$= \left[\frac{8}{3}u^{\frac{3}{2}}-\frac{2}{5}u^{\frac{5}{2}}\right]_0^4=\left[\left(\frac{8}{3}4^{\frac{3}{2}}-\frac{2}{5}4^{\frac{5}{2}}\right)-\left(\frac{8}{3}0^{\frac{3}{2}}-\frac{2}{5}0^{\frac{5}{2}}\right)\right]$$
$$=\frac{8}{3}(\sqrt{4})^3-\frac{2}{5}(\sqrt{4})^5=\frac{8}{3}8-\frac{2}{5}32=\frac{64}{3}-\frac{64}{5}=\frac{5.64-3.64}{15}=\frac{128}{15}.$$

Integrovanie funkcie viacerých reálnych premenných  

Dvojný integrál 

Príklad 6: Vypočítajte

$$\int_1^2 \int_1^3 x^{2}ye^{xy} \ \mathrm{d}y \ \mathrm{d}x.$$

Riešenie: Pri výpočte využijeme metódu per partes. 
$$\int_1^2 \int_1^3 x^{2}ye^{xy} \ \mathrm{d}y \ \mathrm{d}x$$

$$=\int_1^2 x^{2}\left(\left[y \frac{1}{x} e^{xy}\right]_1^3 -\int_1^3 \frac{1}{x}e^{xy} \ \mathrm{d}y \right) \ \mathrm{d}x$$

$$=\int_1^2 x^{2} \left(\left[3 \frac{1}{x}e^{3x}- 1 \frac{1}{x}e^{1x}\right]-\frac{1}{x}\left[\frac{1}{x}e^{xy}\right]_1^3\right) \ \mathrm{d}x $$

$$=\int_1^2 x^{2}\left(3x^{-1} e^{3x}-x^{-1} e^{x}-\frac{1}{x}\left[\frac{1}{x}e^{3x}-\frac{1}{x}e^{x}\right]\right)\mathrm{d}x$$

$$=\int_1^2 \left(3xe^{3x}-x e^{x}-e^{3x}+e^{x}\right) \ \mathrm{d}x$$

$$=\int_1^2 3xe^{3x} \ \mathrm{d}x-\int_1^2 xe^{x} \ \mathrm{d}x-\int_1^2 e^{3x}+\int_1^2 e^{x} \ \mathrm{d}x=\star$$

Prvé dva integrály zrátame metódou per partes, ďalší je možné vyriešiť  odhadom alebo substitučnou metódou, posledný podľa vzorca.

$$\int_1^2 3xe^{3x} \ \mathrm{d}x$$

$$=\left[3x \frac{1}{3}e^{3x}\right]_1^2 -\int_1^2 3 \frac{1}{3}e^{3x} \ \mathrm{d}x$$

$$=2e^{6}-e^{3}-\left[\frac{1}{3}e^{6}-\frac{1}{3}e^{3}\right]$$

$$=\frac{6e^{6}-3e^{3}-e^{6}+e^{3}}{3}=\frac{5e^{6}-2e^{3}}{3}.$$  

$$\int_1^2 xe^{x} \ \mathrm{d}x$$

$$=\left[x e^{x}\right]_1^2 -\int_1^2 e^{x} \ \mathrm{d}x$$

$$=2e^{2}-e-\left[e^{2}-e^{1}\right]=2e^{2}-e-e^{2}+e=e^{2}.$$ 
 

Preto

$$\star=\frac{5}{3}e^{6}-\frac{2}{3}e^{3}-e^{2}-\left[\frac{1}{3}e^{3x}\right]_1^2 + \left[e^{x}\right]_1^2$$

$$=\frac{5}{3}e^{6}-\frac{2}{3}e^{3}-e^{2}-\left[\frac{1}{3}e^{6}-\frac{1}{3}e^{3}\right]+\left[e^{2}-e^{1}\right]=\frac{4}{3}e^{6}-\frac{1}{3}e^{3}-e.$$