Rady

Funkcionálne rady 

Príklad 5: Rozviňte funkciu $f(x)=9x\cdot \ln{(1+3x)}$ do mocninového radu so stredom $x_0=0$ a daný rad zapíšte v tvare $\sum\limits_{m=0}^{\infty} a_m\cdot (x-x_0)^{m}$.

Riešenie:  Našou úlohou je nájsť Taylorov rozvoj funkcie $f(x)=9x\cdot \ln{(1+3x)}$ na okolí bodu $x_0=0$ (často označovaný aj ako Maclaurinov rozvoj funkcie). Z tabuľky Taylorových rozvojov základných funkcií pre $x_0=0$ a $x\in(-1;1)$ máme
$$\ln(1+x)=x-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{3}-\frac{x^{4}}{4}+ \dots+\frac{(-1)^{n-1}x^{n}}{n}+\dots$$
Pre $x_0=0$ a $3x\in(-1;1)$, teda $x\in(\frac{-1}{3};\frac{1}{3})$ dostávame $$\ln(1+3x)=(3x)-\frac{(3x)^{2}}{2}+\frac{(3x)^{3}}{3}-\frac{(3x)^{4}}{4}+ \dots+\frac{(-1)^{n-1}(3x)^{n}}{n}+\dots$$
Pre $x_0=0$ a $x\in(\frac{-1}{3};\frac{1}{3})$ je potom $$9x\cdot\ln(1+3x)=9x\cdot(3x)-9x\frac{(3x)^{2}}{2}+9x\frac{(3x)^{3}}{3}- \dots+9x\frac{(-1)^{n-1}(3x)^{n}}{n}+\dots$$
$$9x\cdot\ln(1+3x)=3^{3}x^2-\frac{3^{4}x^3}{2}+\frac{3^{5}x^{4}}{3}- \dots+\frac{(-1)^{n-1}3^{n+2}x^{n+1}}{n}+\dots$$
V skrátenom zápise pre $m=n-1$ je
$$9x\cdot\ln(1+3x)=\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}3^{n+2}}{n} (x-0)^{n+1}= \sum\limits_{m=0}^{\infty} \frac{(-1)^{m}3^{m+3}}{m+1} (x-0)^{m+2}$$