Rady

Funkcionálne rady 

Príklad 3:  Vyšetrite konvergenciu mocninového radu $$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n} \cdot 4^{n}}{n\cdot \sqrt{n}}=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{ 4^{n} }{n\cdot \sqrt{n}}(x-0)^{n}.$$

Riešenie: Využijeme upravené Cauchyho odmocninové kritérium. Vyrátame
$$\lambda= \lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{\left| a_n \right|} = \lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{\left| \frac{4^{n}}{n\cdot \sqrt{n}}  \right|} = \lim_{n\to\infty} \frac{4}{\sqrt[n]{n}\sqrt[2n]{n}}= \lim_{n\to\infty} \frac{4}{n^{\frac{3}{2n}}}=4.$$
Polomer konvergencie radu $$\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{ 4^{n} }{n\cdot \sqrt{n}}(x-0)^{n}$$ je $$\rho=\frac{1}{\lambda}=\frac{1}{4},$$ stred radu je $x_0=0$, interval konvergencie $$\left(0-\frac{1}{4};0+\frac{1}{4}\right).$$  
Pre vyšetrenie oboru konvergencie mocninového radu je potrebné vyšetriť aj konvergenciu radu v krajných bodoch intervalu konvergencie, teda vyšetriť konvergenciu radov $$\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n\cdot \sqrt{n}}$$ a $$\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{n\cdot \sqrt{n}}.$$  
Rad $$\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n\cdot \sqrt{n}}= \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{\frac{3}{2}}}$$ je konvergentný, lebo je to zovšeobecnený harmonický rad. 
Rad $$\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{n\cdot \sqrt{n}}$$ je podľa Leibnitzovho kritéria konvergentný, lebo jeho členy tvoria nerastúcu postupnosť, $$n<n+1 \quad \Rightarrow \quad n^{\frac{3}{2}}<(n+1)^{\frac{3}{2}} \quad \Rightarrow \quad \frac{1}{n^{\frac{3}{2}}}>\frac{1}{(n+1)^{\frac{3}{2}}} \ $$ a $$\lim\limits_{n\to\infty} \frac{1}{n\cdot \sqrt{n}}=\lim\limits_{n\to\infty} \frac{1}{n^{\frac{3}{2}}}=0.$$
Obor konvergencie radu $$\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{ 4^{n} }{n\cdot \sqrt{n}}(x-0)^{n}$$ je $$\left\langle 0-\frac{1}{4};0+\frac{1}{4}\right\rangle =\left\langle -\frac{1}{4};\frac{1}{4}\right\rangle.$$  

Rady

Funkcionálne rady 

Príklad 5: Rozviňte funkciu $f(x)=9x\cdot \ln{(1+3x)}$ do mocninového radu so stredom $x_0=0$ a daný rad zapíšte v tvare $\sum\limits_{m=0}^{\infty} a_m\cdot (x-x_0)^{m}$.

Riešenie:  Našou úlohou je nájsť Taylorov rozvoj funkcie $f(x)=9x\cdot \ln{(1+3x)}$ na okolí bodu $x_0=0$ (často označovaný aj ako Maclaurinov rozvoj funkcie). Z tabuľky Taylorových rozvojov základných funkcií pre $x_0=0$ a $x\in(-1;1)$ máme
$$\ln(1+x)=x-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{3}-\frac{x^{4}}{4}+ \dots+\frac{(-1)^{n-1}x^{n}}{n}+\dots$$
Pre $x_0=0$ a $3x\in(-1;1)$, teda $x\in(\frac{-1}{3};\frac{1}{3})$ dostávame $$\ln(1+3x)=(3x)-\frac{(3x)^{2}}{2}+\frac{(3x)^{3}}{3}-\frac{(3x)^{4}}{4}+ \dots+\frac{(-1)^{n-1}(3x)^{n}}{n}+\dots$$
Pre $x_0=0$ a $x\in(\frac{-1}{3};\frac{1}{3})$ je potom $$9x\cdot\ln(1+3x)=9x\cdot(3x)-9x\frac{(3x)^{2}}{2}+9x\frac{(3x)^{3}}{3}- \dots+9x\frac{(-1)^{n-1}(3x)^{n}}{n}+\dots$$
$$9x\cdot\ln(1+3x)=3^{3}x^2-\frac{3^{4}x^3}{2}+\frac{3^{5}x^{4}}{3}- \dots+\frac{(-1)^{n-1}3^{n+2}x^{n+1}}{n}+\dots$$
V skrátenom zápise pre $m=n-1$ je
$$9x\cdot\ln(1+3x)=\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}3^{n+2}}{n} (x-0)^{n+1}= \sum\limits_{m=0}^{\infty} \frac{(-1)^{m}3^{m+3}}{m+1} (x-0)^{m+2}$$

Rady

Číselné rady 

Príklad 8: Vyšetrite konvergenciu alternujúceho radu $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-3)^{n+1}}{3^{n}(n+1)(n+2)}.$

Riešenie: Využijeme Leibnitzove kritérium. Alternujúci rad si prepíšeme do nasledujúceho tvaru: 
$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-3)^{n+1}}{3^{n}(n+1)(n+2)} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}\cdot 3}{(n+1)(n+2)} = \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1}\cdot a_n.$$
Členy radu sú nezáporné. Overíme ešte, že tvoria nerastúcu postupnosť: $\forall n\in \mathbb{N}$ platí:
$$n+1<n+3$$
$$(n+1)(n+2)<(n+3)(n+2)$$
$$\frac{3}{(n+1)(n+2)}\geq \frac{3}{(n+2)(n+3)}$$
Napokon zrátame $$\lim\limits_{n\to\infty} \frac{3}{(n+1)(n+2)}= 3 \cdot \lim\limits_{n\to\infty} \frac{1}{(n+1)(n+2)} = 3\cdot 0= 0.$$  
Na základe Leibnitzovho kritéria odvodíme, že rad je konvergentný.

Rady

Číselné rady 

Príklad 7: Vyšetrite konvergenciu radu $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{4}{3+n^{2}}.$

Riešenie: Využijeme Cauchyho integrálne kritérium. Určíme
$$\int_1^{\infty} \frac{4}{3+x^{2}} \ dx = \lim_{b\to\infty} \int_1^{b} \frac{4}{3+x^{2}} \ dx= \lim_{b\to\infty} \left[ \frac{4}{\sqrt{3}}\cdot \mathrm{arctg}{\frac{x}{\sqrt{3}}}\right]_1^{b} =$$
$$=\frac{4}{\sqrt{3}}\lim_{b\to\infty} \left(\mathrm{arctg}{\frac{b}{\sqrt{3}}} - \mathrm{arctg}{\frac{1}{\sqrt{3}}}\right) = \frac{4}{\sqrt{3}} \left( \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{6}\right) < \infty.$$
Integrál konverguje, teda aj rad konverguje.