Rady

Funkcionálne rady 

Príklad 3:  Vyšetrite konvergenciu mocninového radu $$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n} \cdot 4^{n}}{n\cdot \sqrt{n}}=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{ 4^{n} }{n\cdot \sqrt{n}}(x-0)^{n}.$$

Riešenie: Využijeme upravené Cauchyho odmocninové kritérium. Vyrátame
$$\lambda= \lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{\left| a_n \right|} =
\lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{\left| \frac{4^{n}}{n\cdot \sqrt{n}}  \right|} =
\lim_{n\to\infty} \frac{4}{\sqrt[n]{n}\sqrt[2n]{n}}= \lim_{n\to\infty} \frac{4}{n^{\frac{3}{2n}}}=4.$$
Polomer konvergencie radu $$\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{ 4^{n} }{n\cdot \sqrt{n}}(x-0)^{n}$$ je $$\rho=\frac{1}{\lambda}=\frac{1}{4},$$ stred radu je $x_0=0$, interval konvergencie $$\left(0-\frac{1}{4};0+\frac{1}{4}\right).$$ 
Pre vyšetrenie oboru konvergencie mocninového radu je potrebné vyšetriť aj konvergenciu radu v krajných bodoch intervalu konvergencie, teda vyšetriť konvergenciu radov $$\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n\cdot \sqrt{n}}$$ a $$\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{n\cdot \sqrt{n}}.$$  
Rad $$\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n\cdot \sqrt{n}}= \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{\frac{3}{2}}}$$ je konvergentný, lebo je to zovšeobecnený harmonický rad. 
Rad $$\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{n\cdot \sqrt{n}}$$ je podľa Leibnitzovho kritéria konvergentný, lebo jeho členy tvoria nerastúcu postupnosť, $$n<n+1 \quad \Rightarrow \quad n^{\frac{3}{2}}<(n+1)^{\frac{3}{2}} \quad \Rightarrow \quad \frac{1}{n^{\frac{3}{2}}}>\frac{1}{(n+1)^{\frac{3}{2}}} \ $$ a $$\lim\limits_{n\to\infty} \frac{1}{n\cdot \sqrt{n}}=\lim\limits_{n\to\infty} \frac{1}{n^{\frac{3}{2}}}=0.$$
Obor konvergencie radu $$\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{ 4^{n} }{n\cdot \sqrt{n}}(x-0)^{n}$$ je $$\left\langle 0-\frac{1}{4};0+\frac{1}{4}\right\rangle =\left\langle -\frac{1}{4};\frac{1}{4}\right\rangle.$$ 

Rady

Funkcionálne rady 

Príklad 5: Rozviňte funkciu $f(x)=9x\cdot \ln{(1+3x)}$ do mocninového radu so stredom $x_0=0$ a daný rad zapíšte v tvare $\sum\limits_{m=0}^{\infty} a_m\cdot (x-x_0)^{m}$.

Riešenie:  Našou úlohou je nájsť Taylorov rozvoj funkcie $f(x)=9x\cdot \ln{(1+3x)}$ na okolí bodu $x_0=0$ (často označovaný aj ako Maclaurinov rozvoj funkcie). Z tabuľky Taylorových rozvojov základných funkcií pre $x_0=0$ a $x\in(-1;1)$ máme
$$\ln(1+x)=x-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{3}-\frac{x^{4}}{4}+ \dots+\frac{(-1)^{n-1}x^{n}}{n}+\dots$$
Pre $x_0=0$ a $3x\in(-1;1)$, teda $x\in(\frac{-1}{3};\frac{1}{3})$ dostávame $$\ln(1+3x)=(3x)-\frac{(3x)^{2}}{2}+\frac{(3x)^{3}}{3}-\frac{(3x)^{4}}{4}+ \dots+\frac{(-1)^{n-1}(3x)^{n}}{n}+\dots$$
Pre $x_0=0$ a $x\in(\frac{-1}{3};\frac{1}{3})$ je potom $$9x\cdot\ln(1+3x)=9x\cdot(3x)-9x\frac{(3x)^{2}}{2}+9x\frac{(3x)^{3}}{3}- \dots+9x\frac{(-1)^{n-1}(3x)^{n}}{n}+\dots$$
$$9x\cdot\ln(1+3x)=3^{3}x^2-\frac{3^{4}x^3}{2}+\frac{3^{5}x^{4}}{3}- \dots+\frac{(-1)^{n-1}3^{n+2}x^{n+1}}{n}+\dots$$
V skrátenom zápise pre $m=n-1$ je
$$9x\cdot\ln(1+3x)=\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}3^{n+2}}{n} (x-0)^{n+1}= \sum\limits_{m=0}^{\infty} \frac{(-1)^{m}3^{m+3}}{m+1} (x-0)^{m+2}$$

Rady

Číselné rady 

Príklad 8: Vyšetrite konvergenciu alternujúceho radu $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-3)^{n+1}}{3^{n}(n+1)(n+2)}.$

Riešenie: Využijeme Leibnitzove kritérium. Alternujúci rad si prepíšeme do nasledujúceho tvaru: 
$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-3)^{n+1}}{3^{n}(n+1)(n+2)} =
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}\cdot 3}{(n+1)(n+2)} =
\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1}\cdot a_n.$$
Členy radu sú nezáporné. Overíme ešte, že tvoria nerastúcu postupnosť: $\forall n\in \mathbb{N}$ platí:
$$n+1<n+3$$
$$(n+1)(n+2)<(n+3)(n+2)$$
$$\frac{3}{(n+1)(n+2)}\geq \frac{3}{(n+2)(n+3)}$$
Napokon zrátame $$\lim\limits_{n\to\infty} \frac{3}{(n+1)(n+2)}= 3 \cdot \lim\limits_{n\to\infty} \frac{1}{(n+1)(n+2)} = 3\cdot 0= 0.$$  
Na základe Leibnitzovho kritéria odvodíme, že rad je konvergentný.

Rady

Číselné rady 

Príklad 7: Vyšetrite konvergenciu radu $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{4}{3+n^{2}}.$

Riešenie: Využijeme Cauchyho integrálne kritérium. Určíme
$$\int_1^{\infty} \frac{4}{3+x^{2}} \ dx = \lim_{b\to\infty} \int_1^{b} \frac{4}{3+x^{2}} \ dx= \lim_{b\to\infty} \left[ \frac{4}{\sqrt{3}}\cdot \mathrm{arctg}{\frac{x}{\sqrt{3}}}\right]_1^{b} =$$
$$=\frac{4}{\sqrt{3}}\lim_{b\to\infty} \left(\mathrm{arctg}{\frac{b}{\sqrt{3}}} - \mathrm{arctg}{\frac{1}{\sqrt{3}}}\right) = \frac{4}{\sqrt{3}} \left( \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{6}\right) < \infty.$$
Integrál konverguje, teda aj rad konverguje.

Integrovanie funkcie jednej reálnej premennej

Neurčitý integrál  

Príklad 1: Vypočítajte neurčitý integrál  $\displaystyle\int{\frac{1}{\sqrt{5 + x^2}}\ \mathrm{d}x}$.

Riešenie: $\int{\frac{1}{\sqrt{5 + x^2}}\ \mathrm{d}x}$  je variant ľavej strany integračného vzorca
$$\int{\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{x^2 + k}}}=\ln \left|x + \sqrt{x^2 + k}\right| + C$$ 
pre $k=5$.  Preto
$$\int{\frac{1}{\sqrt{5 + x^2}}\ \mathrm{d}x}=\ln \left|x + \sqrt{x^2 + 5}\right| + C.$$

Integrovanie funkcie jednej reálnej premennej

Neurčitý integrál

Príklad 4: Vypočítajte neurčitý integrál $\displaystyle\int{x^2\cdot \cos{x} \ \mathrm{d}x}.$

Riešenie: Integrál výpočítame pomocou  metódy per partes  - 1. typ.  Pri riešení zvolíme $u(x)=x^2$. Potom  $v^{\prime}(x)=\cos{x}$. Derivovaním získame $u^{\prime}(x)=2x$, integrovaním $\displaystyle{v(x)=\int{\cos{x} \ \mathrm{d}x}=\sin x + C}$, čo pre $C=0$ dáva $v(x)=\sin{x}$.
Dosadením do vzťahu
$$\int{u(x)\cdot v^{\prime}(x)\ \mathrm{d}x}=u(x)\cdot v(x) - \int{u^{\prime}(x)\cdot v(x)\ \mathrm{d}x}$$
dostaneme 
$$\int{x^2\cdot \cos x\ \mathrm{d}x}=x^2\cdot \sin x -\int{2x\cdot \sin x\ \mathrm{d}x}.$$
Na výpočet integrálu $\displaystyle\int{2x\cdot \sin x\ \mathrm{d}x}$ znova použujeme metódu per partes.
Zvolíme:
$$ u(x)=2x\ \ \  v'(x)=\sin x$$
$$u'(x)=2\ \ \  v(x)=-\cos x$$
$$\int{2x\cdot \sin x\ \mathrm{d}x}=2x\cdot(-\cos x)-\int{2\cdot (-\cos x)\ \mathrm{d}x}$$
$$=2x\cdot(-\cos x)+2\int{\cos x\ \mathrm{d}x}=-2x\cdot \cos x+2 \sin x +C.$$
Záverom zhrnieme vyrátané:
$$\int{x^2\cdot \cos x\ \mathrm{d}x}= x^2\cdot \sin x -\int{2x\cdot \sin x\ \mathrm{d}x}$$
$$= x^2\cdot \sin x +2x\cdot \cos x-2 \sin x +C=(x^2-2)\cdot \sin x+2x\cdot \cos x+C.$$

Rady

Funkcionálne rady 

Príklad 8: Vyriešte nasledujúcu rovnicu a určte, kedy existuje súčet radu
$$\frac{x}{2}+\frac{x^{2}}{4}+\frac{x^{3}}{8}+\dots=\frac{3x-1}{2}.$$

Riešenie: Rad $\frac{x}{2}+\frac{x^{2}}{4}+\frac{x^{3}}{8}+\dots$ je nekonečný geometrický funkcionálny rad s kvocientom
$$q=\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{\frac{x^{n+1}}{2^{n+1}}}{\frac{x^{n}}{2^{n}}}=\frac{x}{2}.$$
Aby bol rad konvergentný, musí platiť: $$|q|=\left|\frac{x}{2}\right|<1 \quad \Rightarrow \quad -1<\frac{x}{2}<1 \quad \Rightarrow \quad -2<x<2.$$ 
Interval konvergencie radu je $(-2;2)$. 
Súčet geometrického radu určíme zo vzťahu $s=a_1\cdot \frac{1}{1-q}$.
$$s=\frac{x}{2}\cdot \frac{1}{1-\frac{x}{2}}=\frac{\frac{x}{2}}{\frac{2-x}{2}}=\frac{x}{2-x}.$$
Tento dáme do rovnosti s pravou stranou rovnice uvedenej v zadaní úlohy
$$\frac{x}{2-x}=\frac{3x-1}{2}$$
$$2x=(3x-1)(2-x)$$
Získaná rovnica $3x^2-5x+2=0$ má dve riešenia, menovite $x_1=1$ a $x_2=\frac{2}{3}$.
Obe patria do intervalu konvergencie radu. Preto riešením rovnice sú oba korene: $${\cal{K}}=\left\{1,\frac{2}{3}\right\}.$$