Rady

Funkcionálne rady 

Príklad 8: Vyriešte nasledujúcu rovnicu a určte, kedy existuje súčet radu
$$\frac{x}{2}+\frac{x^{2}}{4}+\frac{x^{3}}{8}+\dots=\frac{3x-1}{2}.$$

Riešenie: Rad $\frac{x}{2}+\frac{x^{2}}{4}+\frac{x^{3}}{8}+\dots$ je nekonečný geometrický funkcionálny rad s kvocientom
$$q=\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{\frac{x^{n+1}}{2^{n+1}}}{\frac{x^{n}}{2^{n}}}=\frac{x}{2}.$$
Aby bol rad konvergentný, musí platiť: $$|q|=\left|\frac{x}{2}\right|<1 \quad \Rightarrow \quad -1<\frac{x}{2}<1 \quad \Rightarrow \quad -2<x<2.$$ 
Interval konvergencie radu je $(-2;2)$. 
Súčet geometrického radu určíme zo vzťahu $s=a_1\cdot \frac{1}{1-q}$.
$$s=\frac{x}{2}\cdot \frac{1}{1-\frac{x}{2}}=\frac{\frac{x}{2}}{\frac{2-x}{2}}=\frac{x}{2-x}.$$
Tento dáme do rovnosti s pravou stranou rovnice uvedenej v zadaní úlohy
$$\frac{x}{2-x}=\frac{3x-1}{2}$$
$$2x=(3x-1)(2-x)$$
Získaná rovnica $3x^2-5x+2=0$ má dve riešenia, menovite $x_1=1$ a $x_2=\frac{2}{3}$.
Obe patria do intervalu konvergencie radu. Preto riešením rovnice sú oba korene: $${\cal{K}}=\left\{1,\frac{2}{3}\right\}.$$