Integrovanie funkcie jednej reálnej premennej

Neurčitý integrál

Príklad 4: Vypočítajte neurčitý integrál $\displaystyle\int{x^2\cdot \cos{x} \ \mathrm{d}x}.$

Riešenie: Integrál výpočítame pomocou  metódy per partes  - 1. typ.  Pri riešení zvolíme $u(x)=x^2$. Potom  $v^{\prime}(x)=\cos{x}$. Derivovaním získame $u^{\prime}(x)=2x$, integrovaním $\displaystyle{v(x)=\int{\cos{x} \ \mathrm{d}x}=\sin x + C}$, čo pre $C=0$ dáva $v(x)=\sin{x}$.
Dosadením do vzťahu
$$\int{u(x)\cdot v^{\prime}(x)\ \mathrm{d}x}=u(x)\cdot v(x) - \int{u^{\prime}(x)\cdot v(x)\ \mathrm{d}x}$$
dostaneme 
$$\int{x^2\cdot \cos x\ \mathrm{d}x}=x^2\cdot \sin x -\int{2x\cdot \sin x\ \mathrm{d}x}.$$
Na výpočet integrálu $\displaystyle\int{2x\cdot \sin x\ \mathrm{d}x}$ znova použujeme metódu per partes.
Zvolíme:
$$ u(x)=2x\ \ \  v'(x)=\sin x$$
$$u'(x)=2\ \ \  v(x)=-\cos x$$
$$\int{2x\cdot \sin x\ \mathrm{d}x}=2x\cdot(-\cos x)-\int{2\cdot (-\cos x)\ \mathrm{d}x}$$
$$=2x\cdot(-\cos x)+2\int{\cos x\ \mathrm{d}x}=-2x\cdot \cos x+2 \sin x +C.$$
Záverom zhrnieme vyrátané:
$$\int{x^2\cdot \cos x\ \mathrm{d}x}= x^2\cdot \sin x -\int{2x\cdot \sin x\ \mathrm{d}x}$$
$$= x^2\cdot \sin x +2x\cdot \cos x-2 \sin x +C=(x^2-2)\cdot \sin x+2x\cdot \cos x+C.$$