Processing math: 100%

Monday, June 13, 2022

Integrovanie funkcie jednej reálnej premennej

Neurčitý integrál

Príklad 4: Vypočítajte neurčitý integrál \displaystyle\int{x^2\cdot \cos{x} \ \mathrm{d}x}.

Riešenie:
Integrál výpočítame pomocou  metódy per partes  - 1. typ.  Pri riešení zvolíme u(x)=x^2. Potom  v^{\prime}(x)=\cos{x}. Derivovaním získame u^{\prime}(x)=2x, integrovaním \displaystyle{v(x)=\int{\cos{x} \ \mathrm{d}x}=\sin x + C}, čo pre C=0 dáva v(x)=\sin{x}.
Dosadením do vzťahu
\int{u(x)\cdot v^{\prime}(x)\ \mathrm{d}x}=u(x)\cdot v(x) - \int{u^{\prime}(x)\cdot v(x)\ \mathrm{d}x}
dostaneme 
\int{x^2\cdot \cos x\ \mathrm{d}x}=x^2\cdot \sin x -\int{2x\cdot \sin x\ \mathrm{d}x}.
Na výpočet integrálu \displaystyle\int{2x\cdot \sin x\ \mathrm{d}x} znova použujeme metódu per partes.
Zvolíme:
u(x)=2x\ \ \  v'(x)=\sin x
u'(x)=2\ \ \  v(x)=-\cos x
\int{2x\cdot \sin x\ \mathrm{d}x}=2x\cdot(-\cos x)-\int{2\cdot (-\cos x)\ \mathrm{d}x}
=2x\cdot(-\cos x)+2\int{\cos x\ \mathrm{d}x}=-2x\cdot \cos x+2 \sin x +C.
Záverom zhrnieme vyrátané:
\int{x^2\cdot \cos x\ \mathrm{d}x}= x^2\cdot \sin x -\int{2x\cdot \sin x\ \mathrm{d}x}
= x^2\cdot \sin x +2x\cdot \cos x-2 \sin x +C=(x^2-2)\cdot \sin x+2x\cdot \cos x+C.

No comments:

Post a Comment