Integrovanie funkcie viacerých reálnych premenných
Dvojný integrál
Popis oblasti
Príklad 2: Rozhodnite, či oblasť M tvaru konvexného štvoruholníka s vrcholmi [1; 1], [3; 1], [2; 2] a [1; 2] je elementárnou oblasťou typu [x,y], prípadne [y,x]. Ak áno, popíšte ju.
Riešenie: Oblasť M si načrtneme.
Z obrázka vidno, že pre x\in\langle 1; 2\rangle sú y-nové súradnice bodov z oblasti M z intervalu \langle 1; 2\rangle, pre x\in\langle 2; 3\rangle je ohraničenie pre y-nové súradnice bodov oblasti M iné.
Oblasť M preto nemožno popísať ako elementárnu oblasť typu [x,y].
Možno ju však popísať ako elementárnu oblasť typu [y,x].
Horné a dolné ohraničenie pre y-nové súradnice bodov oblasti M dávajú priamky y=1 a y=2.
Dolné ohraničenie pre x-ové súradnice bodov oblasti M dáva priamka x=1.
Horné ohraničenie pre x-ové súradnice bodov oblasti M dáva priamka p prechádzajúca bodmi [3; 1] a [2; 2], ktorej smerový vektor je \vec{s}=[2; 2]-[3; 1]=(-1; 1), normálový vektor \vec{n}=(1; 1). Jej všeobecnú rovnicu získame z tvaru ax+by+c=0 pre (a; b)=\vec{n}=(1; 1) a konštantu c určíme z rovnice 1x_0+1y_0+c=0 pre [x_0; y_0]=[2; 2]. Všeobecná rovnica priamky p je teda 1x+1y-4=0, odkiaľ x=4-y.
Popis oblasti M ako elementárnej oblasti typu [y,x] je potom:
1\leq y\leq 2,
1\leq x \leq 4-y.
No comments:
Post a Comment