Integrovanie funkcie viacerých reálnych premenných 

Dvojný integrál 

Popis oblasti 

Príklad 2:  Rozhodnite, či oblasť $M$ tvaru konvexného štvoruholníka s vrcholmi $[1; 1]$, $[3; 1]$, $[2; 2]$ a $[1; 2]$  je elementárnou oblasťou typu $[x,y]$, prípadne $[y,x]$. Ak áno, popíšte ju. 

Riešenie: Oblasť $M$ si načrtneme.

Z obrázka vidno, že pre $x\in\langle 1; 2\rangle$ sú $y$-nové súradnice bodov z oblasti  $M$ z intervalu $\langle 1; 2\rangle$, pre $x\in\langle 2; 3\rangle$ je ohraničenie pre $y$-nové súradnice bodov oblasti $M$ iné.
Oblasť $M$ preto nemožno popísať ako elementárnu oblasť typu $[x,y]$.

Možno ju však popísať ako elementárnu oblasť typu $[y,x]$.
Horné a dolné ohraničenie pre $y$-nové súradnice bodov oblasti $M$ dávajú priamky $y=1$ a $y=2$.
Dolné ohraničenie pre $x$-ové súradnice bodov oblasti $M$ dáva priamka $x=1$.
Horné ohraničenie pre $x$-ové súradnice bodov oblasti $M$ dáva priamka $p$ prechádzajúca bodmi $[3; 1]$ a $[2; 2]$, ktorej smerový vektor je $\vec{s}=[2; 2]-[3; 1]=(-1; 1)$, normálový vektor $\vec{n}=(1; 1)$. Jej všeobecnú rovnicu získame z tvaru $ax+by+c=0$ pre $(a; b)=\vec{n}=(1; 1)$ a konštantu $c$ určíme z rovnice $1x_0+1y_0+c=0$ pre $[x_0; y_0]=[2; 2]$. Všeobecná rovnica priamky $p$ je teda $1x+1y-4=0$, odkiaľ $x=4-y$.

Popis oblasti $M$ ako elementárnej oblasti typu $[y,x]$ je potom:
$$1\leq y\leq 2,$$
$$1\leq x \leq 4-y.$$