Plošný integrál 

 

Parametrizácia plochy 

Príklad 1: Nájdite parametrizáciu plochy $S$, ktorá je časťou roviny

$$\frac{x}{2}+\frac{y}{3}+\frac{z}{4}=1$$ ležiacou v 1. oktante.

Riešenie: Keďže všeobecná rovnica roviny je 

$$a\cdot x+b\cdot y+c\cdot z+d=0,$$

ľahko ju možno parametrizovať pomocou 2 parametrov.

Rovnicu roviny 

$$S: \frac{x}{2}+\frac{y}{3}+\frac{z}{4}=1$$

prenásobíme $12$ a vyjadríme $z$. Dostaneme

$$6x+4y+3z=12  \  \Longrightarrow  \  z=4-2x-\frac{4}{3}y.$$

Parametrické vyjadrenie plochy $S$ potom bude:

$x=u$,

$y=v$,

$z=4-2u-\frac{4}{3}v$; $\ [u;v]\in G$,

kde $G$ je priemet plochy $S$ do roviny $R_{xy}$.

Vo vektorovom tvare

$S:   \vec{r}=u\cdot\vec{i}+v\cdot\vec{j}+(4-2u-\frac{4}{3}v)\vec{k}; \   [u,v]\in G$.

V rovine $R_{xy}$ je oblasť $G$ ohraničená priamkami:

$6x+4y=12 \ \Longrightarrow \ y=3-\frac{3}{2}x$, $\ x=0$, $\ y=0$.

Preto jej popis je nasledovný:

$0\leq x \leq 2$,

$0\leq y \leq 3-\frac{3}{2} x$

Odtiaľ dostaneme finálne parametrické vyjadrenie plochy $S$:

$x=u$,

$y=v$,

$z=4-2u-\frac{4}{3}v$; $\ 0\leq u \leq 2$, $\ 0\leq v \leq 3-\frac{3}{2} u$.