Plošný integrál 

Parametrizácia plochy

Príklad 2.: Nájdite parametrizáciu valcovej plochy $P$ určenej rovnicou

$$x^{2}+y^{2}=1; \ 0\leq z \leq 1.$$

Riešenie: Priemetom valcovej plochy

$$(x-m)^{2}+(y-n)^{2}=r^{2}, \ \ a\leq z \leq b.$$  

do roviny $R_{xy}$ je kružnica.

Pri transformácii využijeme polárne súradnice:

$x=\rho\cdot\cos(\varphi)$,

$y=\rho\cdot\sin(\varphi)$ pre $S=[0;0]$.
Respektíve

$x=m + \rho\cdot\cos(\varphi)$,

$y=n + \rho\cdot\sin(\varphi)$ pre $S=[m;n]$, kde $\rho>0$, $0\leq\varphi\leq 2\pi$.

Parametrizácia valcovej plochy sa potom dá získať v tvare:

$x=m + \rho\cdot\cos(u)$,

$y=n + \rho\cdot\sin(u)$,

$z=v$; $\ 0\leq u\leq 2\pi$, $\ a\leq v \leq b$.

Pre $S=[0; 0]$ parametrické vyjadrenie plochy $P$ bude

$x=\cos(u)$,

$y=\sin(u)$,

$z=v$; $\ 0\leq u\leq 2\pi$, $\ 0\leq v \leq 1.$