Integrovanie funkcie viacerých reálnych premenných  

Dvojný integrál 

Príklad 6: Vypočítajte

$$\int_1^2 \int_1^3 x^{2}ye^{xy} \ \mathrm{d}y \ \mathrm{d}x.$$

Riešenie: Pri výpočte využijeme metódu per partes. 
$$\int_1^2 \int_1^3 x^{2}ye^{xy} \ \mathrm{d}y \ \mathrm{d}x$$

$$=\int_1^2 x^{2}\left(\left[y \frac{1}{x} e^{xy}\right]_1^3 -\int_1^3 \frac{1}{x}e^{xy} \ \mathrm{d}y \right) \ \mathrm{d}x$$

$$=\int_1^2 x^{2} \left(\left[3 \frac{1}{x}e^{3x}- 1 \frac{1}{x}e^{1x}\right]-\frac{1}{x}\left[\frac{1}{x}e^{xy}\right]_1^3\right) \ \mathrm{d}x $$

$$=\int_1^2 x^{2}\left(3x^{-1} e^{3x}-x^{-1} e^{x}-\frac{1}{x}\left[\frac{1}{x}e^{3x}-\frac{1}{x}e^{x}\right]\right)\mathrm{d}x$$

$$=\int_1^2 \left(3xe^{3x}-x e^{x}-e^{3x}+e^{x}\right) \ \mathrm{d}x$$

$$=\int_1^2 3xe^{3x} \ \mathrm{d}x-\int_1^2 xe^{x} \ \mathrm{d}x-\int_1^2 e^{3x}+\int_1^2 e^{x} \ \mathrm{d}x=\star$$

Prvé dva integrály zrátame metódou per partes, ďalší je možné vyriešiť  odhadom alebo substitučnou metódou, posledný podľa vzorca.

$$\int_1^2 3xe^{3x} \ \mathrm{d}x$$

$$=\left[3x \frac{1}{3}e^{3x}\right]_1^2 -\int_1^2 3 \frac{1}{3}e^{3x} \ \mathrm{d}x$$

$$=2e^{6}-e^{3}-\left[\frac{1}{3}e^{6}-\frac{1}{3}e^{3}\right]$$

$$=\frac{6e^{6}-3e^{3}-e^{6}+e^{3}}{3}=\frac{5e^{6}-2e^{3}}{3}.$$  

$$\int_1^2 xe^{x} \ \mathrm{d}x$$

$$=\left[x e^{x}\right]_1^2 -\int_1^2 e^{x} \ \mathrm{d}x$$

$$=2e^{2}-e-\left[e^{2}-e^{1}\right]=2e^{2}-e-e^{2}+e=e^{2}.$$ 
 

Preto

$$\star=\frac{5}{3}e^{6}-\frac{2}{3}e^{3}-e^{2}-\left[\frac{1}{3}e^{3x}\right]_1^2 + \left[e^{x}\right]_1^2$$

$$=\frac{5}{3}e^{6}-\frac{2}{3}e^{3}-e^{2}-\left[\frac{1}{3}e^{6}-\frac{1}{3}e^{3}\right]+\left[e^{2}-e^{1}\right]=\frac{4}{3}e^{6}-\frac{1}{3}e^{3}-e.$$