Krivkový integrál 

Krivkový integrál prvého druhu 

Príklad 3: Vypočítajte krivkový integrál $\int_K\sqrt{2y} \ \mathrm{d}s$, ak $K$ je krivka s parametrickým vyjadrením: $x=a(t-\sin t)$, $y=a(1-\cos t)$; $t\in\langle 0; 2\pi\rangle$. 

Riešenie: Keďže krivkový integrál 1. druhu možno vypočítať pomocou vzťahu 
$$\int_K f(x,y)\ \mathrm{d}s=\int^{\beta}_{\alpha}f\left(x(t),y(t)\right)\cdot\sqrt{(x^{\prime}(t))^2+(y^{\prime}(t))^2}\ \mathrm{d}t$$
ako jednoduchý integrál, predpripravíme si niektoré elementy jeho podintegrálnej funkcie:
$(x(t))^{\prime}=(a (t-\sin t))^{\prime}=a (1-\cos t)$
   $\Longrightarrow(x^{\prime}(t))^2=a^2(1-\cos t)^2=a^2(1-2\cos t+\cos^2 t),$
$(y(t))^{\prime}=(a (1-\cos t))^{\prime}=a (0+\sin t)=a \sin t$
   $\Longrightarrow(y^{\prime}(t))^2=a^2\sin^2 t.$
Teda
$$\int_K f(x,y)\ \mathrm{d}s$$
$$=\int^{2\pi}_0\sqrt{2  a (1-\cos t)} \sqrt{a^2(1-2\cos t+\cos^2 t)+a^2\sin^2 t}\ \mathrm{d}t$$  
$$=\int^{2\pi}_0\sqrt{2}\sqrt{a}\sqrt{1-\cos t} \sqrt{a^2(1-2\cos t+(\underbrace{\cos^2 t+\sin^2 t}_1))}\ \mathrm{d}t$$
$$=\int^{2\pi}_0\sqrt{2} \sqrt{a} \sqrt{1-\cos t} \sqrt{a^2(2-2\cos t)}\ \mathrm{d}t$$
$$=\int^{2\pi}_0\sqrt{2} \sqrt{a}\sqrt{1-\cos t}\sqrt{a^2} \sqrt{2} \sqrt{1-\cos t}\ \mathrm{d}t$$
$$=\int^{2\pi}_02  a^{\frac{3}{2}} (1-\cos t)\ \mathrm{d}t=2a^{\frac{3}{2}}\int^{2\pi}_0(1-\cos t)\ \mathrm{d}t$$
$$=2a^{\frac{3}{2}}\left[t-\sin t\right]_0^{2\pi}=2a^{\frac{3}{2}}\left[(2\pi-\sin {2\pi})-(0-\sin 0)\right]=4\pi a^{\frac{3}{2}}.$$

Záver:
$$\int_K\sqrt{2y}\ \mathrm{d}s=4\pi a^{\frac{3}{2}}.$$