Krivkový integrál 

Parametrizácia krivky 

Príklad 2: Parametrizujte kružnicu ktorá je v 3D daná rovnicami:

$$x^2+y^2+z^2=4^2$$

$$y=x\cdot \mathrm{tg} \alpha,$$

kde $0<\alpha<\frac{\pi}{2}$.

Kružnicu premietneme do roviny $R_{yz}$. Vyjadríme $x$:

$$x=\frac{y}{\mathrm{tg}\alpha}.$$

Dosadíme do predchádzajúcej rovnice.

$$\left(\frac{y}{\mathrm{tg}\alpha}\right)^2+y^2+z^2=4^2$$

$$\frac{y^2 \cos^2\alpha}{\sin^2\alpha}+\frac{y^2\sin^2\alpha}{\sin^2\alpha}+z^2=4^2$$

$$\frac{y^2(\cos^2\alpha+\sin^2\alpha)}{\sin^2\alpha}+z^2=4^2$$

$$\left(\frac{y}{\sin{\alpha}}\right)^{2}+z^{2}=4^{2}.$$

$$ \frac{y^2}{4^{2}\sin^{2}{\alpha}}+\frac{z^{2}}{4^{2}}=1.$$

V polárnych súradniciach v rovine $R_{yz}$ preto máme:

$y=4 \sin{\alpha}\cos{t}$

$z=4 \sin{t}$; $\quad t\in\langle 0;2\pi\rangle$.

Keďže $x=\frac{y}{\mathrm{tg}\alpha},$ máme

$$x=\frac{y}{\mathrm{tg}\alpha}=\frac{4 \sin{\alpha}\cos{t}}{\mathrm{tg}\alpha}=\frac{\frac{4 \sin{\alpha}\cos{t}}{1}}{\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}}=4\cos{\alpha}\cos{t}.$$

Hľadané parametrické vyjadrenie kružnice je:

$x=4 \cos{\alpha} \cos{t}$

$y=4 \sin{\alpha} \cos{t}$

$z=4 \sin{t}$; $\quad t\in\langle 0; 2\pi\rangle$.