Krivkový integrál
Parametrizácia krivky
Príklad 2: Parametrizujte kružnicu ktorá je v 3D daná rovnicami:
x^2+y^2+z^2=4^2
y=x\cdot \mathrm{tg} \alpha,
kde 0<\alpha<\frac{\pi}{2}.
Kružnicu premietneme do roviny R_{yz}. Vyjadríme x:
x=\frac{y}{\mathrm{tg}\alpha}.
Dosadíme do predchádzajúcej rovnice.
\left(\frac{y}{\mathrm{tg}\alpha}\right)^2+y^2+z^2=4^2
\frac{y^2 \cos^2\alpha}{\sin^2\alpha}+\frac{y^2\sin^2\alpha}{\sin^2\alpha}+z^2=4^2
\frac{y^2(\cos^2\alpha+\sin^2\alpha)}{\sin^2\alpha}+z^2=4^2
\left(\frac{y}{\sin{\alpha}}\right)^{2}+z^{2}=4^{2}.
\frac{y^2}{4^{2}\sin^{2}{\alpha}}+\frac{z^{2}}{4^{2}}=1.
V polárnych súradniciach v rovine R_{yz} preto máme:
y=4 \sin{\alpha}\cos{t}
z=4 \sin{t}; \quad t\in\langle 0;2\pi\rangle.
Keďže x=\frac{y}{\mathrm{tg}\alpha}, máme
x=\frac{y}{\mathrm{tg}\alpha}=\frac{4 \sin{\alpha}\cos{t}}{\mathrm{tg}\alpha}=\frac{\frac{4 \sin{\alpha}\cos{t}}{1}}{\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}}=4\cos{\alpha}\cos{t}.
Hľadané parametrické vyjadrenie kružnice je:
x=4 \cos{\alpha} \cos{t}
y=4 \sin{\alpha} \cos{t}
z=4 \sin{t}; \quad t\in\langle 0; 2\pi\rangle.
No comments:
Post a Comment