Processing math: 100%

Friday, October 28, 2016

Integrovanie funkcie viacerých reálnych premenných 

Dvojný integrál  


Príklad 2: Pomocou vhodnej transformácie určte
\iint_M (x^2+y^2) \ \mathrm{d} M,

ak M je oblasť určená nerovnicami x^2+y^2\leq 4, y\geq-x, y\geq0.

Riešenie: Oblasť M predstavuje výsek z kruhu x^2+y^2\leq 4.
Popíšeme si ju pomocou transformácie do polárnych súradníc:
x=\rho\cos\varphi, y=\rho\sin\varphi pre 0\leq\rho\leq 2, 0\leq\varphi\leq\frac{3\pi}{4}.
Hodnota Jakobiánu je |{\cal{J}}|=\rho.

Príslušný integrál vypočítame nasledovne:
\iint_M (x^2+y^2) \ \mathrm{d}M=\int^2_0\int^\frac{3\pi}{4}_0 (\rho^2\cos^2\varphi+\rho^2\sin^2\varphi)\rho \ \mathrm{d}\varphi \ \mathrm{d}\rho

=\int^2_0\int^\frac{3\pi}{4}_0\rho^2\underbrace{(\cos^2\varphi+ \sin^2\varphi)}_1\rho \ \mathrm{d}\varphi \ \mathrm{d}\rho

=\int^2_0\int^\frac{3\pi}{4}_0\rho^3 \ \mathrm{d}\varphi \ \mathrm{d}\rho=\int^2_0 \rho^3 \int^\frac{3\pi}{4}_0 1 \ \mathrm{d}\varphi \ \mathrm{d}\rho

=\int^2_0 \rho^3  \left[\varphi\right]^\frac{3\pi}{4}_0 \ \mathrm{d}\rho=\int^2_0  \rho^3 \left[\frac{3\pi}{4} - 0\right] \mathrm{d}\rho

=\frac{3\pi}{4} \int^2_0 \rho^3 \ \mathrm{d}\rho  =\frac{3\pi}{4}\left[\frac{\rho^4}{4}\right]^2_0=\frac{3\pi}{4}\left[\frac{2^4}{4} -\frac{0^4}{4}\right] = 3\pi.

No comments:

Post a Comment