Integrovanie funkcie viacerých reálnych premenných 

Dvojný integrál  

Príklad 2: Pomocou vhodnej transformácie určte
$$\iint_M (x^2+y^2) \ \mathrm{d} M, $$
ak M je oblasť určená nerovnicami $x^2+y^2\leq 4$, $y\geq-x$, $y\geq0.$

Riešenie: Oblasť $M$ predstavuje výsek z kruhu $x^2+y^2\leq 4$.
Popíšeme si ju pomocou transformácie do polárnych súradníc:
$x=\rho\cos\varphi$, $y=\rho\sin\varphi$ pre $0\leq\rho\leq 2$, $0\leq\varphi\leq\frac{3\pi}{4}$.
Hodnota Jakobiánu je $|{\cal{J}}|=\rho$.

Príslušný integrál vypočítame nasledovne:
$$\iint_M (x^2+y^2) \ \mathrm{d}M=\int^2_0\int^\frac{3\pi}{4}_0 (\rho^2\cos^2\varphi+\rho^2\sin^2\varphi)\rho \ \mathrm{d}\varphi \ \mathrm{d}\rho$$
$$=\int^2_0\int^\frac{3\pi}{4}_0\rho^2\underbrace{(\cos^2\varphi+ \sin^2\varphi)}_1\rho \ \mathrm{d}\varphi \ \mathrm{d}\rho$$
$$=\int^2_0\int^\frac{3\pi}{4}_0\rho^3 \ \mathrm{d}\varphi \ \mathrm{d}\rho=\int^2_0 \rho^3 \int^\frac{3\pi}{4}_0 1 \ \mathrm{d}\varphi \ \mathrm{d}\rho$$
$$=\int^2_0 \rho^3  \left[\varphi\right]^\frac{3\pi}{4}_0 \ \mathrm{d}\rho=\int^2_0  \rho^3 \left[\frac{3\pi}{4} - 0\right] \mathrm{d}\rho$$
$$=\frac{3\pi}{4} \int^2_0 \rho^3 \ \mathrm{d}\rho  =\frac{3\pi}{4}\left[\frac{\rho^4}{4}\right]^2_0=\frac{3\pi}{4}\left[\frac{2^4}{4} -\frac{0^4}{4}\right] = 3\pi.$$