Processing math: 100%

Friday, October 28, 2016

Integrovanie funkcie viacerých reálnych premenných 

Dvojný integrál 


Trojný integrál 


Príklad 3: Vypočítajte objem telesa ohraničeného plochami
y=\sqrt{x}, y=2\sqrt{x}, x+z=4, z=0.

Riešenie: Objem tohto telesa môžeme vypočítať podľa vzťahu
v=\iiint_{A} 1  \ \mathrm{d}x \ \mathrm{d}y \ \mathrm{d}z,
kde A je popísaná nerovnosťami
0\leq x\leq 4, \quad \sqrt{x}\leq y \leq 2 \sqrt{x}, \quad 0\leq z \leq 4-x,
alebo podľa vzťahu
v=\iint_{M} (f(x,y)-q(x,y)) \ \mathrm{d}x \ \mathrm{d}y,
kde M je popísaná nerovnosťami
0\leq  x \leq 4, \quad \sqrt{x}\leq y \leq 2 \sqrt{x}, \quad
pričom f(x,y)=4-x   a   g(x,y)=0

Obe možnosti, prirodzeme, sú správne. Vedú k identickému výsledku. 

V=\int^{4}_{0}\int^{2\sqrt{x}}_{\sqrt{x}} \int^{4-x}_{0}1 \ \mathrm{d}z \ \mathrm{d}y \ \mathrm{d}x = \int^{4}_{0}\int^{2\sqrt{x}}_{\sqrt{x}}\left[z\right]^{4-x}_{0} \ \mathrm{d}y\ \mathrm{d}x
=\int^{4}_{0}\int^{2\sqrt{x}}_{\sqrt{x}}((4-x)-0)\ \mathrm{d}y\  \mathrm{d}x=\int^{4}_{0}\int^{2\sqrt{x}}_{\sqrt{x}} (4-x) \  \mathrm{d}y \ \mathrm{d}x
=\int^{4}_{0}\left[4y-xy\right]^{2\sqrt{x}}_{\sqrt{x}} \ \mathrm{d}x= \int^{4}_{0} (4(2\sqrt{x})-x(2\sqrt{x}))-(4 \sqrt{x}-x\sqrt{x}) \ \mathrm{d}x
=\int^{4}_{0}\left(8 x^{\frac{1}{2}}-2  x^{\frac{3}{2}}-4  x^{\frac{1}{2}}+x^{\frac{3}{2}} \right) \ \mathrm{d}x=\int^{4}_{0} \left(4 x^{\frac{1}{2}}-x^{\frac{3}{2}}\right) \ \mathrm{d}x = \left[4\frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}-\frac{x^{\frac{5}{2}}}{\frac{5}{2}}\right]^{4}_{0}
=\left(4  \frac{2}{3}   (\sqrt{4})^{3}-\frac{2}{5} (\sqrt{4})^{5}\right) -(0-0)=\frac{8}{3}\cdot 8-\dfrac{2}{5}\cdot 32 =\frac{64}{3}-\frac{64}{5}=\frac{128}{15}. 

V=\int^{4}_{0}\int^{2\sqrt{x}}_{\sqrt{x}}((4-x)-0)\ \mathrm{d}y\  \mathrm{d}x=\int^{4}_{0}\int^{2\sqrt{x}}_{\sqrt{x}} (4-x) \  \mathrm{d}y \ \mathrm{d}x
=\int^{4}_{0}\left[4y-xy\right]^{2\sqrt{x}}_{\sqrt{x}} \ \mathrm{d}x= \int^{4}_{0} (4(2\sqrt{x})-x(2\sqrt{x}))-(4 \sqrt{x}-x\sqrt{x}) \ \mathrm{d}x
=\int^{4}_{0}\left(8 x^{\frac{1}{2}}-2  x^{\frac{3}{2}}-4  x^{\frac{1}{2}}+x^{\frac{3}{2}} \right) \ \mathrm{d}x=\int^{4}_{0} \left(4 x^{\frac{1}{2}}-x^{\frac{3}{2}}\right) \ \mathrm{d}x = \left[4\frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}-\frac{x^{\frac{5}{2}}}{\frac{5}{2}}\right]^{4}_{0}
=\left(4  \frac{2}{3}   (\sqrt{4})^{3}-\frac{2}{5} (\sqrt{4})^{5}\right) -(0-0)=\frac{8}{3}\cdot 8-\dfrac{2}{5}\cdot 32 =\frac{64}{3}-\frac{64}{5}=\frac{128}{15}.

Objem telesa je \dfrac{128}{15} jednotiek kubických.

No comments:

Post a Comment