Integrovanie funkcie viacerých reálnych premenných 

Dvojný integrál 

Trojný integrál 

Príklad 3: Vypočítajte objem telesa ohraničeného plochami
$y=\sqrt{x}$, $y=2\sqrt{x}$, $x+z=4$, $z=0$.

Riešenie: Objem tohto telesa môžeme vypočítať podľa vzťahu
$$v=\iiint_{A} 1  \ \mathrm{d}x \ \mathrm{d}y \ \mathrm{d}z,$$
kde A je popísaná nerovnosťami
$$0\leq x\leq 4, \quad
\sqrt{x}\leq y \leq 2 \sqrt{x}, \quad
0\leq z \leq 4-x,$$
alebo podľa vzťahu
$$v=\iint_{M} (f(x,y)-q(x,y)) \ \mathrm{d}x \ \mathrm{d}y,$$
kde M je popísaná nerovnosťami
$$0\leq  x \leq 4, \quad
\sqrt{x}\leq y \leq 2 \sqrt{x}, \quad $$
pričom $f(x,y)=4-x$   a   $g(x,y)=0$. 

Obe možnosti, prirodzeme, sú správne. Vedú k identickému výsledku. 

$$V=\int^{4}_{0}\int^{2\sqrt{x}}_{\sqrt{x}} \int^{4-x}_{0}1 \ \mathrm{d}z \ \mathrm{d}y \ \mathrm{d}x = \int^{4}_{0}\int^{2\sqrt{x}}_{\sqrt{x}}\left[z\right]^{4-x}_{0} \ \mathrm{d}y\ \mathrm{d}x$$
$$=\int^{4}_{0}\int^{2\sqrt{x}}_{\sqrt{x}}((4-x)-0)\ \mathrm{d}y\  \mathrm{d}x=\int^{4}_{0}\int^{2\sqrt{x}}_{\sqrt{x}} (4-x) \  \mathrm{d}y \ \mathrm{d}x$$
$$=\int^{4}_{0}\left[4y-xy\right]^{2\sqrt{x}}_{\sqrt{x}} \ \mathrm{d}x=
\int^{4}_{0} (4(2\sqrt{x})-x(2\sqrt{x}))-(4 \sqrt{x}-x\sqrt{x}) \ \mathrm{d}x$$
$$=\int^{4}_{0}\left(8 x^{\frac{1}{2}}-2  x^{\frac{3}{2}}-4  x^{\frac{1}{2}}+x^{\frac{3}{2}} \right) \ \mathrm{d}x=\int^{4}_{0} \left(4 x^{\frac{1}{2}}-x^{\frac{3}{2}}\right) \ \mathrm{d}x = \left[4\frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}-\frac{x^{\frac{5}{2}}}{\frac{5}{2}}\right]^{4}_{0}$$
$$=\left(4  \frac{2}{3}   (\sqrt{4})^{3}-\frac{2}{5} (\sqrt{4})^{5}\right) -(0-0)=\frac{8}{3}\cdot 8-\dfrac{2}{5}\cdot 32 =\frac{64}{3}-\frac{64}{5}=\frac{128}{15}.$$ 

$$V=\int^{4}_{0}\int^{2\sqrt{x}}_{\sqrt{x}}((4-x)-0)\ \mathrm{d}y\  \mathrm{d}x=\int^{4}_{0}\int^{2\sqrt{x}}_{\sqrt{x}} (4-x) \  \mathrm{d}y \ \mathrm{d}x$$
$$=\int^{4}_{0}\left[4y-xy\right]^{2\sqrt{x}}_{\sqrt{x}} \ \mathrm{d}x=
\int^{4}_{0} (4(2\sqrt{x})-x(2\sqrt{x}))-(4 \sqrt{x}-x\sqrt{x}) \ \mathrm{d}x$$
$$=\int^{4}_{0}\left(8 x^{\frac{1}{2}}-2  x^{\frac{3}{2}}-4  x^{\frac{1}{2}}+x^{\frac{3}{2}} \right) \ \mathrm{d}x=\int^{4}_{0} \left(4 x^{\frac{1}{2}}-x^{\frac{3}{2}}\right) \ \mathrm{d}x = \left[4\frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}-\frac{x^{\frac{5}{2}}}{\frac{5}{2}}\right]^{4}_{0}$$
$$=\left(4  \frac{2}{3}   (\sqrt{4})^{3}-\frac{2}{5} (\sqrt{4})^{5}\right) -(0-0)=\frac{8}{3}\cdot 8-\dfrac{2}{5}\cdot 32 =\frac{64}{3}-\frac{64}{5}=\frac{128}{15}.$$

Objem telesa je $\dfrac{128}{15}$ jednotiek kubických.