Rady

Číselné rady 

Príklad 1: Pomocou postupnosti čiastočných súčtov vypočítajte súčet radu
$$\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{3}{(n+1)(n+2)}$$
a určte, či daný rad konverguje, alebo diverguje.

Riešenie: Využijeme rozklad výrazu $\frac{3}{(n+1)(n+2)}$ na parciálne zlomky.
$$\frac{3}{(n+1)(n+2)}=\frac{A}{n+1}+\frac{B}{n+2}$$
$$3=A(n+2)+B(n+1)$$
$$0n+3=An+2A+Bn+B$$
$$0n+3=(A+B)n+(2A+B)$$
Odtiaľ 
$0=A+B \qquad \ \Rightarrow A=-B$ 
$3=2A+B \qquad \Rightarrow 3=-2B+B \qquad \Rightarrow B=-3 \qquad \Rightarrow A=3$
Následne dostaneme:
$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{3}{(n+1)(n+2)} =\sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{3}{n+1}+ \frac{-3}{n+2)}\right).$$
Pomocou vyjadrenia niekoľkých prvých členov postupnosti čiastočných súčtov odvodíme vzťah pre $n$-tý člen tejto postupnosti.

$s_1=a_1=\frac{3}{1+1}+\frac{-3}{1+2}=\frac{3}{2}+\frac{-3}{3}$ 
$s_2=a_1 + a_2 =\frac{3}{2}+\frac{-3}{3} + \frac{3}{2+1}+\frac{-3}{2+2}=\frac{3}{2}+\frac{-3}{3}+\frac{3}{3}+\frac{-3}{4}=\frac{3}{2}+\frac{-3}{4}$ 
$s_3=a_1 + a_2 + a_3=\dots=\frac{3}{2}+\frac{-3}{4}+\frac{3}{4}+\frac{-3}{5} = \frac{3}{2}+\frac{-3}{5}$ 
$\vdots$ 
$s_n=a_1 + a_2 + \dots + a_n=\dots=\frac{3}{2}+\frac{-3}{n+2}$

Zrátaním $\lim\limits_{n\to\infty} s_n$ dostaneme požadovaný súčet radu: 
$$s=\lim_{n\to\infty} s_n=\lim_{n\to\infty}\left( \frac{3}{2}+\frac{-3}{n+2}\right)= \lim_{n\to\infty} \frac{3}{2} + \lim_{n\to\infty} \frac{-3}{n+2}= \frac{3}{2}+0 = \frac{3}{2}.$$
Súčet radu ($s=\frac{3}{2}$) je vyjadrený konečným číslom, rad konverguje.