Integrovanie funkcie jednej reálnej premennej

Neurčitý integrál

Príklad 7: Vypočítajte neurčitý integrál $\displaystyle\int{\frac{x}{\cos^2{x}}\ \mathrm{d}x}$.

Riešenie: Integrál budeme riešiť metódou per partes - 4. typ. Podintegrálnu funkciu zapíšeme v tvare súčinu $$f(x)=\frac{x}{\cos^2{x}}=\frac{1}{\cos^2{x}}\cdot {x}.$$
Na ľahko zintegrovateľný nepolynomický činiteľ súčinu budeme nahliadať ako na zderivovanú funkciu. Zapíšeme:
$$\int{\frac{x}{\cos^2{x}}\ \mathrm{d}x}=\int{{x\cdot\frac{1}{\cos^2{x}}}\ \mathrm{d}x}=\left|\begin{array}{cc}  u(x)=x &  v^{\prime}(x)=\cos^{-2}{x} \\ u^{\prime}(x)=1 & v(x)=\mathrm{tg}\ {x}\end{array}\right|=$$
$$x\cdot\mathrm{tg}\ {x}-\int{\mathrm{tg}\ {x}\ \mathrm{d}x}=x\cdot\mathrm{tg}\ {x}+\int{\frac{-\sin{x}}{\cos{x}}\ \mathrm{d}x}=x\cdot\mathrm{tg}\ {x}+\ln{|\cos{x}|}+C.$$