Integrovanie funkcie jednej reálnej premennej

Neurčitý integrál

Príklad 6: Vypočítajte neurčitý integrál $\displaystyle\int{e^x\cdot \sin {x}\ \mathrm{d}x}$.

Riešenie:  Daný integrál výpočítame pomocou  metódy per partes - 3. typ. Pri oboch použitiach vzorca $\int{u(x)\cdot v^{\prime}(x)\ \mathrm{d}x}= u(x)\cdot v(x) - \int{u^{\prime}(x)\cdot v(x)\ \mathrm{d}x}$ položíme  $u(x)$ rovné goniometrickej funkcii.
$$\int{e^x\cdot \sin {x}\ \mathrm{d}x}=\int{\sin {x} \cdot e^x \ \mathrm{d}x}=\left|\begin{array}{cc} u(x)=\sin {x} & v^{\prime}(x)=e^x  \\ u^{\prime}(x) & v(x)=e^x=\cos{x}\end{array}\right| $$
$$= e^x\cdot\sin {x} -\int{e^x\cdot \cos{x}\ \mathrm{d}x}=\left|\begin{array}{cc} u(x)=\cos {x} & v^{\prime}(x)=e^x \\ u^{\prime}(x)=-\sin{x} & v(x)=e^x\end{array}\right|$$
$$= e^x\cdot\sin {x} -\left(e^x\cdot\cos {x} -\int{e^x\cdot (-\sin{x})\ \mathrm{d}x}+C \right)$$

Dostaneme takto rovnicu 
$$\int{e^x\cdot \sin {x}\ \mathrm{d}x}=e^x\cdot\sin {x} -e^x\cdot\cos {x} -\int{e^x\cdot \sin{x}\ \mathrm{d}x}+C$$
Odkiaľ  
$$2\int{e^x\cdot \sin {x}\ \mathrm{d}x}=e^x\cdot\sin {x} -e^x\cdot\cos {x}+C$$
$$\int{e^x\cdot \sin {x}\ \mathrm{d}x}=\frac{1}{2}\left(e^x\cdot\sin {x} -e^x\cdot\cos {x}+C\right)$$