Rady

Číselné rady 

Príklad 5: Vyšetrite konvergenciu radu $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{n}}{2^{n}\cdot n!}.$

Riešenie: Použijeme D'Alembertovo kritérium. Určíme
$$\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n} =\lim_{n\to\infty}\frac{\frac{(n+1)^{n+1}}{2^{n+1}\cdot (n+1)!}}{\frac{n^{n}}{2^{n}\cdot n!}} =\lim_{n\to\infty}\frac{\frac{(n+1)^{n}\cdot (n+1)}{2\cdot 2^{n}\cdot (n+1)\cdot n!}}{\frac{n^{n}}{2^{n}\cdot n!}} = \lim_{n\to\infty}\frac{(n+1)^{n}}{2\cdot n^{n}} =$$
$$=\frac{1}{2}\cdot\lim_{n\to\infty}\left(\frac{n+1}{n}\right)^{n} =\frac{1}{2}\cdot \underbrace{\lim_{n\to\infty}\left( 1 + \frac{1}{n}\right)^{n}}_{e}=\frac{1}{2}\cdot e=\frac{e}{2}>1.$$
Na základe toho odvodíme, že rad diverguje.