Integrovanie funkcie jednej reálnej premennej

Určitý integrál   

Príklad 3: Vypočítajte určitý integrál $\displaystyle\int\limits_0^1{\mathrm{arctg}\ x\ \mathrm{d}x}.$

Riešenie: Funkcia $\mathrm{arctg}\ x$ je spojitá na $\mathbb{R}$, teda je integrovateľná na $\mathbb{R}$. Na výpočet primitívnej funkcie k funkcii $\displaystyle \mathrm{arctg}\ x$ použijeme metódu per partes.
$$\int{\mathrm{arctg}\ x\ \mathrm{d}x}=\left|
\begin{array}{cc}
\mathrm{arctg}\ x=u & 1=v^\prime \\
\frac{1}{x^2+1}=u^\prime & x=v\\
\end{array}
\right|
 =x\cdot\mathrm{arctg}\ x-\int{\frac{1}{x^2+1}\cdot x\ \mathrm{d}x}=*
$$
Integrál $\displaystyle\int{\frac{1}{x^2+1}\cdot x\ \mathrm{d}x}$ najskôr upravíme, a potom vypočítame podľa vzorca
$$\int{\frac{f\prime(x)}{f(x)}\ \mathrm{d}x}=\ln |f(x)|+C.$$ 
$$\int{\frac{1}{x^2+1}\cdot x\ \mathrm{d}x}=\frac{1}{2}\int{\frac{2x}{x^2+1}\ \mathrm{d}x}=\frac{1}{2}\ln |x^2+1|+C = \frac{1}{2}\ln (x^2+1)+C, $$
nakoľko $x^2$ je nezáporné. Teda
$$*= x\cdot\mathrm{arctg}\ x- \frac{1}{2}\ln (x^2+1)+C. $$
V závere použijeme Newton-Leibnizovu formulu:
$$\int\limits_0^1{\mathrm{arctg}\ x\ \mathrm{d}x}=\left[x\cdot\mathrm{arctg}\ x- \frac{1}{2}\ln(x^2+1)\right]_0^1=$$
$$\left(1\cdot\mathrm{arctg}\ 1- \frac{1}{2}\ln(1^2+1)\right)-\left(0\cdot\mathrm{arctg}\ 0- \frac{1}{2}\ln(0^2+1)\right) =\frac{\pi}{4}- \frac{1}{2}\ln 2.$$