Integrovanie funkcie jednej reálnej premennej
Určitý integrál
Príklad 3: Vypočítajte určitý integrál \displaystyle\int\limits_0^1{\mathrm{arctg}\ x\ \mathrm{d}x}.
Riešenie: Funkcia \mathrm{arctg}\ x je spojitá na \mathbb{R}, teda je integrovateľná na \mathbb{R}. Na výpočet primitívnej funkcie k funkcii \displaystyle \mathrm{arctg}\ x použijeme metódu per partes.
\int{\mathrm{arctg}\ x\ \mathrm{d}x}=\left| \begin{array}{cc} \mathrm{arctg}\ x=u & 1=v^\prime \\ \frac{1}{x^2+1}=u^\prime & x=v\\ \end{array} \right| =x\cdot\mathrm{arctg}\ x-\int{\frac{1}{x^2+1}\cdot x\ \mathrm{d}x}=*
Integrál \displaystyle\int{\frac{1}{x^2+1}\cdot x\ \mathrm{d}x} najskôr upravíme, a potom vypočítame podľa vzorca
\int{\frac{f\prime(x)}{f(x)}\ \mathrm{d}x}=\ln |f(x)|+C.
\int{\frac{1}{x^2+1}\cdot x\ \mathrm{d}x}=\frac{1}{2}\int{\frac{2x}{x^2+1}\ \mathrm{d}x}=\frac{1}{2}\ln |x^2+1|+C = \frac{1}{2}\ln (x^2+1)+C,
nakoľko x^2 je nezáporné. Teda
*= x\cdot\mathrm{arctg}\ x- \frac{1}{2}\ln (x^2+1)+C.
V závere použijeme Newton-Leibnizovu formulu:
\int\limits_0^1{\mathrm{arctg}\ x\ \mathrm{d}x}=\left[x\cdot\mathrm{arctg}\ x- \frac{1}{2}\ln(x^2+1)\right]_0^1=
\left(1\cdot\mathrm{arctg}\ 1- \frac{1}{2}\ln(1^2+1)\right)-\left(0\cdot\mathrm{arctg}\ 0- \frac{1}{2}\ln(0^2+1)\right) =\frac{\pi}{4}- \frac{1}{2}\ln 2.
No comments:
Post a Comment