Processing math: 11%

Monday, June 6, 2022

Integrovanie funkcie jednej reálnej premennej 

Neurčitý integrál 

Príklad 10: Vypočítajte neurčitý integrál \displaystyle\int{\sin^{3}{x}\cdot\cos{x}\ \mathrm{d}x}.

Riešenie:  Podintegrálna funkcia je v tvare súčinu. Zložitejší činiteľ súčinu je výraz \sin^{3} {x}. Ak by sme pri substitúcii celý tento výraz nahradili premennou t, deriváciou by sme dostali rovnosť 3\sin{x}\cos{x}\ \mathrm{d}x=1 \ \mathrm{d}t, čo je príliš dlhý výraz v porovnaní s druhým činiteľom v podintegrálnej funkcii (\cos {x}). To často poukazuje na fakt, že sme zbytočne nahradzovali príliš zložitý výraz. Vhodnejšie teda bude do substitúcie vziať len jeho časť, konkrétne výraz \sin{x} nahradiť premennou t. Dostaneme: 
\int{\sin^{3}{x}\cdot\cos{x}\ \mathrm{d}x}=\left[ \mathrm{Substit.} \ \sin{x} = t, \ \cos{x} \, \mathrm{d}x= 1\, \mathrm{d}t \right]
= \int{t^{3}\ \mathrm{d}t}=\frac{t^{4}}{4} + C = \frac{\sin^{4}{x}}{4} + C.

No comments:

Post a Comment