Integrovanie funkcie jednej reálnej premennej

Neurčitý integrál  

Príklad 3: Určte primitívnu funkciu k funkcii $f(x)=\sin{3x}$.

Riešenie: Primitívnu funkciu k funkcii $f(x)=\sin{3x}$ sa pokúsime nájsť odhadom. Vieme, že
$$\int{\sin{x}\ \mathrm{d}x}=-\cos{x}+C.$$
Dá sa teda predpokladať, že aj primitívna funkcia k funkcii $\sin{3x}$ bude vo svojom vyjadrení obsahovať výraz $-\cos{3x}$.  Funkcia $-\cos{kx}$ pre $k\notin \{0; 1\}$ je zložená funkcia, ktorej derivácia je
$$[-\cos{kx}]^{\prime}=(\sin{k x})\cdot[kx]^{\prime}=k\cdot\sin{k x},$$
teda $k$ krát väčšia ako $\sin{k x}$. Pri integrovaní funkcie $f(x)=\sin{k x}=\sin{3x}$ musíme výraz $-\cos{kx}=-\cos{3x}$ predeliť $k=3$, aby sme dostali primitívnu funkciu k $f(x)$. Dostaneme
$$\int{\sin{3 x}\ \mathrm{d}x}=\frac{1}{3}(-\cos{3x})+C=\frac{-\cos{3x}}{3}+C.$$