Integrovanie funkcie jednej reálnej premennej

Určitý integrál  

Príklad 6: Vypočítajte objem telesa, ktoré vznikne rotáciou okolo osi $o_x$ časti roviny ohraničenej krivkami $y=6x-x^2$,  $y=0$.

Riešenie: Ak sú funkcie $f(x)$ a $g(x)$  spojité na intervale $\left\langle a,b\right\rangle$ a platí $g(x)\leq f(x)$, tak objem telesa $V$, ktoré vznikne rotáciou množiny bodov v rovine, ktoré spĺňajú nerovnosti $a\leq x\leq b$ a $g(x)\leq y \leq f(x)$ okolo osi $o_x$ je daný vzťahom:
$$\displaystyle V=\int\limits_a^b{\pi\left(f^2(x)-g^2(x)\right)\ \mathrm{d}x}.$$
Tento vzťah teda využijeme pri hľadaní riešenia úlohy.
$$V=\int\limits_0^6{\pi\left(\left(6x-x^2\right)^2-0^2\right)\ \mathrm{d}x}=
\int\limits_0^6{\pi (36x^2-12x^3+x^4)\ \mathrm{d}x}=$$
$$\left[\pi \left(36\frac{x^3}{3}-12\frac{x^4}{4}+\frac{x^5}{5}\right)\right]^6_0=\pi \left(\left(12\cdot 6^3-3\cdot 6^4+\frac{6^5}{5}\right)-0\right)=\frac{6^4}{5}\pi .$$