Processing math: 0%

Friday, June 3, 2022

Integrovanie funkcie jednej reálnej premennej

Určitý integrál  


Príklad 6: Vypočítajte objem telesa, ktoré vznikne rotáciou okolo osi o_x časti roviny ohraničenej krivkami y=6x-x^2y=0.

Riešenie: Ak sú funkcie f(x) a g(x)  spojité na intervale \left\langle a,b\right\rangle a platí g(x)\leq f(x), tak objem telesa V, ktoré vznikne rotáciou množiny bodov v rovine, ktoré spĺňajú nerovnosti a\leq x\leq b a g(x)\leq y \leq f(x) okolo osi o_x je daný vzťahom:
\displaystyle V=\int\limits_a^b{\pi\left(f^2(x)-g^2(x)\right)\ \mathrm{d}x}.
Tento vzťah teda využijeme pri hľadaní riešenia úlohy.
V=\int\limits_0^6{\pi\left(\left(6x-x^2\right)^2-0^2\right)\ \mathrm{d}x}= \int\limits_0^6{\pi (36x^2-12x^3+x^4)\ \mathrm{d}x}=
\left[\pi \left(36\frac{x^3}{3}-12\frac{x^4}{4}+\frac{x^5}{5}\right)\right]^6_0=\pi \left(\left(12\cdot 6^3-3\cdot 6^4+\frac{6^5}{5}\right)-0\right)=\frac{6^4}{5}\pi .

No comments:

Post a Comment