Integrovanie funkcie jednej reálnej premennej

Neurčitý integrál  

Príklad 2: Vypočítajte neurčitý integrál $\displaystyle\int{\mathrm{tg}^2 \  x\, \mathrm{d}x}.$

Riešenie: Keďže $\displaystyle\mathrm{tg}\  x=\frac{\sin x}{\cos x}$ a platí vzťah $1=\sin^2 x+\cos^2 x$, daný integrál môžeme vypočítať rozkladom a úpravou nasledovne:
$$\int{\mathrm{tg}^2 \ x\, \mathrm{d}x}=\int{\frac{\sin^2 x}{\cos^2 x}\, \mathrm{d}x}=\int{\frac{1-\cos^2 x}{\cos^2 x}\, \mathrm{d}x}=\int{\left(\frac{1}{\cos^2 x}-\frac{\cos^2 x}{\cos^2 x}\right)\ \mathrm{d}x}$$  
$$=\int{\frac{1}{\cos^2 x}\, \mathrm{d}x}-\int{1\, \mathrm{d}x}=\mathrm{tg}\  x-x+C.$$