Processing math: 0%

Friday, June 3, 2022

Integrovanie funkcie jednej reálnej premennej

Určitý integrál  


Príklad 7: Vypočítajte dĺžku l krivky C danej vzťahom y=\ln{\sin x}, x\in \left\langle \frac{\pi}{3},\frac{2\pi}{3}\right\rangle.

Riešenie:
Ak je funkcia f(x) je spojitá na intervale \left\langle a,b\right\rangle a  má tam i spojitú prvú deriváciu, tak dĺžka  l  krivky  C danej funkciou y=f(x) na intervale \left\langle a,b\right\rangle je
l=\int_a^b \sqrt{1+\left(f'(x)\right)^2} \ \mathrm{d}x.
Kedže f'(x)=\left(\ln{\sin x}\right)'=\frac{\cos x}{\sin x}, po dosadení do vzťahu na výpočet dĺžky krivky, s využitím rovnosti \sin^2 x + \cos^2 x=1, substitučnej metódy a následným integrovaním podľa vzorca  \displaystyle\int{\frac{\mathrm{d}x}{a^2-x^2}}=\frac{1}{2a} \ln \left|\frac{a+x}{a-x}\right| + C  dostávame
l=\int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{2\pi}{3}} \sqrt{1+\left(\frac{\cos x}{\sin x}\right)^2} \ \mathrm{d}x=\int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{2\pi}{3}} \sqrt{\frac{\sin^2 x + \cos^2 x}{\sin^2 x}} \ \mathrm{d}x=\int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{2\pi}{3}} \frac{1}{\sin x} \ \mathrm{d}x
=\int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{2\pi}{3}} \frac{1}{\sin x}\cdot 1 \ \mathrm{d}x=\int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{2\pi}{3}} \frac{1}{\sin x} \cdot\frac{\sin x}{\sin x}\ \mathrm{d}x
=\int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{2\pi}{3}} \frac{\sin x}{1-\cos^2 x}\ \mathrm{d}x=\left|\mathrm{Substit.} \begin{cases}  & \cos x = t \\ & -\sin x \ \mathrm{d} x = \mathrm{d}t \\ & x=\frac{\pi}{3} \Rightarrow \cos x = \frac{1}{2} \\ & x=\frac{2\pi}{3} \Rightarrow \cos x = \frac{-1}{2} \\ \end{cases}\right|=
-\int_{\frac{1}{2}}^{\frac{-1}{2}} \frac{1}{1-t^2 }\ \mathrm{d}t=-\left[\frac{1}{2}\ln\left| \frac{1+t}{1-t}\right| \right]_{\frac{1}{2}}^{\frac{-1}{2}}
=-\frac{1}{2}\ln\left| \frac{1+\frac{-1}{2}}{1-\frac{-1}{2}}\right|+\frac{1}{2}\ln\left| \frac{1+\frac{1}{2}}{1-\frac{1}{2}}\right|=\frac{ -\ln\frac{1}{3}+\ln 3 }{2}=\ln 3.

No comments:

Post a Comment