Integrovanie funkcie jednej reálnej premennej

Určitý integrál  

Príklad 7: Vypočítajte dĺžku $l$ krivky $C$ danej vzťahom $y=\ln{\sin x}$, $x\in \left\langle \frac{\pi}{3},\frac{2\pi}{3}\right\rangle.$

Riešenie:
Ak je funkcia $f(x)$ je spojitá na intervale $\left\langle a,b\right\rangle$ a  má tam i spojitú prvú deriváciu, tak dĺžka  $l$  krivky  $C$ danej funkciou $y=f(x)$ na intervale $\left\langle a,b\right\rangle$ je
$$l=\int_a^b \sqrt{1+\left(f'(x)\right)^2} \ \mathrm{d}x.$$
Kedže $f'(x)=\left(\ln{\sin x}\right)'=\frac{\cos x}{\sin x}$, po dosadení do vzťahu na výpočet dĺžky krivky, s využitím rovnosti $\sin^2 x + \cos^2 x=1$, substitučnej metódy a následným integrovaním podľa vzorca  $\displaystyle\int{\frac{\mathrm{d}x}{a^2-x^2}}=\frac{1}{2a} \ln \left|\frac{a+x}{a-x}\right| + C$  dostávame
$$l=\int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{2\pi}{3}} \sqrt{1+\left(\frac{\cos x}{\sin x}\right)^2} \ \mathrm{d}x=\int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{2\pi}{3}} \sqrt{\frac{\sin^2 x + \cos^2 x}{\sin^2 x}} \ \mathrm{d}x=\int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{2\pi}{3}} \frac{1}{\sin x} \ \mathrm{d}x$$
$$=\int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{2\pi}{3}} \frac{1}{\sin x}\cdot 1 \ \mathrm{d}x=\int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{2\pi}{3}} \frac{1}{\sin x} \cdot\frac{\sin x}{\sin x}\ \mathrm{d}x$$
$$=\int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{2\pi}{3}} \frac{\sin x}{1-\cos^2 x}\ \mathrm{d}x=\left|\mathrm{Substit.} \begin{cases}  & \cos x = t \\
& -\sin x \ \mathrm{d} x = \mathrm{d}t \\
& x=\frac{\pi}{3} \Rightarrow \cos x = \frac{1}{2} \\
& x=\frac{2\pi}{3} \Rightarrow \cos x = \frac{-1}{2} \\ \end{cases}\right|=$$
$$-\int_{\frac{1}{2}}^{\frac{-1}{2}} \frac{1}{1-t^2 }\ \mathrm{d}t=-\left[\frac{1}{2}\ln\left| \frac{1+t}{1-t}\right| \right]_{\frac{1}{2}}^{\frac{-1}{2}}$$
$$=-\frac{1}{2}\ln\left| \frac{1+\frac{-1}{2}}{1-\frac{-1}{2}}\right|+\frac{1}{2}\ln\left| \frac{1+\frac{1}{2}}{1-\frac{1}{2}}\right|=\frac{ -\ln\frac{1}{3}+\ln 3 }{2}=\ln 3.$$