Integrovanie funkcie jednej reálnej premennej 

Numerické metódy výpočtu integrálov 

Príklad 1: Obdĺžníkovou metódou, pomocou delenia intervalu $\left\langle 1;2\right\rangle$ na $n = 10$ podintervalov, vypočítajte hodnotu integrálu $\displaystyle\int\limits^2_1{x^2e^{x^2}} \ \mathrm{d}x$.
Odhadnite chybu numerického výpočtu. Získané výsledky vyhoďnoťte z hľadiska presnosti.

Riešenie: Interval $\left\langle a;b\right\rangle=\left\langle 1;2\right\rangle$ deliacimi bodmi $x_0=1$, $x_1=1,1, \dots,$ $x_{n-1}=1,9$, $x_n=2$ rozdelíme na $10$ ekvidistančných podintervalov. V bodoch $x_0$, $x_1,\dots, x_{n-1}$ určíme funkčné hodnoty funkcie $f(x)=x^2e^{x^2}$. Dostaneme hodnoty:
$f(1,0)=2,72$
$f(1,1)=4,06$
$f(1,2)=6,08$
$f(1,3)=9,16$
$f(1,4)=13,91$
$f(1,5)=21,35$
$f(1,6)=33,12$
$f(1,7)=52,00$
$f(1,8)=82,73$
$f(1,9)=133,45$
Približnú hodnotu integrálu $\displaystyle\int^2_1{x^2e^{x^2}}\ \mathrm{d}x$ vypočítame na základe vzťahu
$$\int^2_1{x^2e^{x^2}} dx \approx \frac{b-a}{n}\left(f(x_0)+f(x_1)+\cdots +f(x_{n-1})\right)$$
$$\int^2_1{x^2e^{x^2}} dx \approx \frac{2-1}{10}(2,72+4,06+\dots+133,45)=\frac{1}{10}\cdot 358,58=35,858.$$
Pre odhad chyby numerického výpočtu použijeme vzťah
$$\left|R_0(f)\right|\leq \frac{M_1}{2n}(b-a)^{2}, \qquad M_1=\max\limits_{\left\langle a;b\right\rangle}|f'(x)|.$$
$$f'(x)=\left(x^2e^{x^2}\right)'=2xe^{x^2}+x^2e^{x^2}2x=2xe^{x^2}(1+x^2)$$
Táto funkcia na intervale $\left\langle a;b\right\rangle=\left\langle 1;2\right\rangle$ dosahuje maximum v bode $2$, preto
$$M_1=4 e^{2^2}(1+2^2)= 20e^4$$
$$\left|R_0(f)\right|\leq \frac{20e^4}{2\cdot 10}(2-1)^{2} = e^4 \doteq 54,5982.$$

Porovnaním chyby merania so získanou hodnotou integrálu zisťujeme, že náš výpočet je veľmi nepresný, skutočná hodnota integrálu sa nachádza v intervale
$$\left\langle 35,858-54,5982;35,858+54,5982\right\rangle=\left\langle -18,7402;90,4562\right\rangle.$$
Presnejší výsledok možno získať zvýšením počtu deliacich bodov, prípadne použitím inej numerickej metódy integrovania.