Integrovanie funkcie jednej reálnej premennej

Neurčitý integrál  

Príklad 1: Vypočítajte neurčitý integrál  $\displaystyle\int{\frac{1}{\sqrt{5 + x^2}}\ \mathrm{d}x}$.

Riešenie: $\int{\frac{1}{\sqrt{5 + x^2}}\ \mathrm{d}x}$  je variant ľavej strany integračného vzorca
$$\int{\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{x^2 + k}}}=\ln \left|x + \sqrt{x^2 + k}\right| + C$$  
pre $k=5$.  Preto
$$\int{\frac{1}{\sqrt{5 + x^2}}\ \mathrm{d}x}=\ln \left|x + \sqrt{x^2 + 5}\right| + C.$$

Integrovanie funkcie jednej reálnej premennej

Neurčitý integrál

Príklad 4: Vypočítajte neurčitý integrál $\displaystyle\int{x^2\cdot \cos{x} \ \mathrm{d}x}.$

Riešenie: Integrál výpočítame pomocou  metódy per partes  - 1. typ.  Pri riešení zvolíme $u(x)=x^2$. Potom  $v^{\prime}(x)=\cos{x}$. Derivovaním získame $u^{\prime}(x)=2x$, integrovaním $\displaystyle{v(x)=\int{\cos{x} \ \mathrm{d}x}=\sin x + C}$, čo pre $C=0$ dáva $v(x)=\sin{x}$.
Dosadením do vzťahu
$$\int{u(x)\cdot v^{\prime}(x)\ \mathrm{d}x}=u(x)\cdot v(x) - \int{u^{\prime}(x)\cdot v(x)\ \mathrm{d}x}$$
dostaneme 
$$\int{x^2\cdot \cos x\ \mathrm{d}x}=x^2\cdot \sin x -\int{2x\cdot \sin x\ \mathrm{d}x}.$$
Na výpočet integrálu $\displaystyle\int{2x\cdot \sin x\ \mathrm{d}x}$ znova použujeme metódu per partes.
Zvolíme:
$$u(x)=2x\ \ \  v'(x)=\sin x$$
$$u'(x)=2\ \ \  v(x)=-\cos x$$
$$\int{2x\cdot \sin x\ \mathrm{d}x}=2x\cdot(-\cos x)-\int{2\cdot (-\cos x)\ \mathrm{d}x}$$
$$=2x\cdot(-\cos x)+2\int{\cos x\ \mathrm{d}x}=-2x\cdot \cos x+2 \sin x +C.$$
Záverom zhrnieme vyrátané:
$$\int{x^2\cdot \cos x\ \mathrm{d}x}= x^2\cdot \sin x -\int{2x\cdot \sin x\ \mathrm{d}x}$$
$$= x^2\cdot \sin x +2x\cdot \cos x-2 \sin x +C=(x^2-2)\cdot \sin x+2x\cdot \cos x+C.$$

Rady

Funkcionálne rady 

Príklad 8: Vyriešte nasledujúcu rovnicu a určte, kedy existuje súčet radu
$$\frac{x}{2}+\frac{x^{2}}{4}+\frac{x^{3}}{8}+\dots=\frac{3x-1}{2}.$$

Riešenie: Rad $\frac{x}{2}+\frac{x^{2}}{4}+\frac{x^{3}}{8}+\dots$ je nekonečný geometrický funkcionálny rad s kvocientom
$$q=\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{\frac{x^{n+1}}{2^{n+1}}}{\frac{x^{n}}{2^{n}}}=\frac{x}{2}.$$
Aby bol rad konvergentný, musí platiť: $$|q|=\left|\frac{x}{2}\right|<1 \quad \Rightarrow \quad -1<\frac{x}{2}<1 \quad \Rightarrow \quad -2<x<2.$$  
Interval konvergencie radu je $(-2;2)$. 
Súčet geometrického radu určíme zo vzťahu $s=a_1\cdot \frac{1}{1-q}$.
$$s=\frac{x}{2}\cdot \frac{1}{1-\frac{x}{2}}=\frac{\frac{x}{2}}{\frac{2-x}{2}}=\frac{x}{2-x}.$$
Tento dáme do rovnosti s pravou stranou rovnice uvedenej v zadaní úlohy
$$\frac{x}{2-x}=\frac{3x-1}{2}$$
$$2x=(3x-1)(2-x)$$
Získaná rovnica $3x^2-5x+2=0$ má dve riešenia, menovite $x_1=1$ a $x_2=\frac{2}{3}$.
Obe patria do intervalu konvergencie radu. Preto riešením rovnice sú oba korene: $${\cal{K}}=\left\{1,\frac{2}{3}\right\}.$$  

Integrovanie funkcie jednej reálnej premennej 

Numerické metódy výpočtu integrálov 

Príklad 1: Obdĺžníkovou metódou, pomocou delenia intervalu $\left\langle 1;2\right\rangle$ na $n = 10$ podintervalov, vypočítajte hodnotu integrálu $\displaystyle\int\limits^2_1{x^2e^{x^2}} \ \mathrm{d}x$.
Odhadnite chybu numerického výpočtu. Získané výsledky vyhoďnoťte z hľadiska presnosti.

Riešenie: Interval $\left\langle a;b\right\rangle=\left\langle 1;2\right\rangle$ deliacimi bodmi $x_0=1$, $x_1=1,1, \dots,$ $x_{n-1}=1,9$, $x_n=2$ rozdelíme na $10$ ekvidistančných podintervalov. V bodoch $x_0$, $x_1,\dots, x_{n-1}$ určíme funkčné hodnoty funkcie $f(x)=x^2e^{x^2}$. Dostaneme hodnoty:
$f(1,0)=2,72$
$f(1,1)=4,06$
$f(1,2)=6,08$
$f(1,3)=9,16$
$f(1,4)=13,91$
$f(1,5)=21,35$
$f(1,6)=33,12$
$f(1,7)=52,00$
$f(1,8)=82,73$
$f(1,9)=133,45$
Približnú hodnotu integrálu $\displaystyle\int^2_1{x^2e^{x^2}}\ \mathrm{d}x$ vypočítame na základe vzťahu
$$\int^2_1{x^2e^{x^2}} dx \approx \frac{b-a}{n}\left(f(x_0)+f(x_1)+\cdots +f(x_{n-1})\right)$$
$$\int^2_1{x^2e^{x^2}} dx \approx \frac{2-1}{10}(2,72+4,06+\dots+133,45)=\frac{1}{10}\cdot 358,58=35,858.$$
Pre odhad chyby numerického výpočtu použijeme vzťah
$$\left|R_0(f)\right|\leq \frac{M_1}{2n}(b-a)^{2}, \qquad M_1=\max\limits_{\left\langle a;b\right\rangle}|f'(x)|.$$
$$f'(x)=\left(x^2e^{x^2}\right)'=2xe^{x^2}+x^2e^{x^2}2x=2xe^{x^2}(1+x^2)$$
Táto funkcia na intervale $\left\langle a;b\right\rangle=\left\langle 1;2\right\rangle$ dosahuje maximum v bode $2$, preto
$$M_1=4 e^{2^2}(1+2^2)= 20e^4$$
$$\left|R_0(f)\right|\leq \frac{20e^4}{2\cdot 10}(2-1)^{2} = e^4 \doteq 54,5982.$$

Porovnaním chyby merania so získanou hodnotou integrálu zisťujeme, že náš výpočet je veľmi nepresný, skutočná hodnota integrálu sa nachádza v intervale
$$\left\langle 35,858-54,5982;35,858+54,5982\right\rangle=\left\langle -18,7402;90,4562\right\rangle.$$
Presnejší výsledok možno získať zvýšením počtu deliacich bodov, prípadne použitím inej numerickej metódy integrovania.

Integrovanie funkcie jednej reálnej premennej 

Neurčitý integrál 

Príklad 10: Vypočítajte neurčitý integrál $\displaystyle\int{\sin^{3}{x}\cdot\cos{x}\ \mathrm{d}x}.$

Riešenie:  Podintegrálna funkcia je v tvare súčinu. Zložitejší činiteľ súčinu je výraz $\sin^{3} {x}$. Ak by sme pri substitúcii celý tento výraz nahradili premennou $t$, deriváciou by sme dostali rovnosť $3\sin{x}\cos{x}\ \mathrm{d}x=1 \ \mathrm{d}t$, čo je príliš dlhý výraz v porovnaní s druhým činiteľom v podintegrálnej funkcii ($\cos {x}$). To často poukazuje na fakt, že sme zbytočne nahradzovali príliš zložitý výraz. Vhodnejšie teda bude do substitúcie vziať len jeho časť, konkrétne výraz $\sin{x}$ nahradiť premennou $t$. Dostaneme: 
$$\int{\sin^{3}{x}\cdot\cos{x}\ \mathrm{d}x}=\left[ \mathrm{Substit.} \ \sin{x} = t, \ \cos{x} \, \mathrm{d}x= 1\, \mathrm{d}t \right]$$
$$= \int{t^{3}\ \mathrm{d}t}=\frac{t^{4}}{4} + C = \frac{\sin^{4}{x}}{4} + C.$$

Integrovanie funkcie jednej reálnej premennej

Určitý integrál  

Príklad 4: Vypočítajte $\displaystyle\int_{-\infty}^0{\frac{x}{x^2+1}\ \mathrm{d}x}.$

Riešenie: Funkcia $\frac{x}{x^2+1}$ je spojitá na $R$, preto ju možno integrovať prenásobením vhodnou jednotkou a následne podľa vzorca.
$$\int_{-\infty}^{0}{\frac{x}{x^2+1}\ \mathrm{d}x}= \lim_{a\to -\infty}\int_{a}^{0}{\frac{x}{x^2+1}\ \mathrm{d}x}$$
$$=\lim_{a\to -\infty} \frac{1}{2}\int_{a}^{0}{\frac{2x}{x^2+1}\ \mathrm{d}x}=\lim_{a\to -\infty}\frac{1}{2}\left[\ln|x^2+1|\right]_a^0=$$
$$\lim_{a\to -\infty}\frac{1}{2}\left[\ln(x^2+1)\right]_a^0=\frac{1}{2}\ln(0^2+1)-\lim_{a\to -\infty}\frac{1}{2}\ln(a^2+1)=0-\infty=-\infty.$$

Integrovanie funkcie jednej reálnej premennej

Určitý integrál  

Príklad 6: Vypočítajte objem telesa, ktoré vznikne rotáciou okolo osi $o_x$ časti roviny ohraničenej krivkami $y=6x-x^2$,  $y=0$.

Riešenie: Ak sú funkcie $f(x)$ a $g(x)$  spojité na intervale $\left\langle a,b\right\rangle$ a platí $g(x)\leq f(x)$, tak objem telesa $V$, ktoré vznikne rotáciou množiny bodov v rovine, ktoré spĺňajú nerovnosti $a\leq x\leq b$ a $g(x)\leq y \leq f(x)$ okolo osi $o_x$ je daný vzťahom:
$$\displaystyle V=\int\limits_a^b{\pi\left(f^2(x)-g^2(x)\right)\ \mathrm{d}x}.$$
Tento vzťah teda využijeme pri hľadaní riešenia úlohy.
$$V=\int\limits_0^6{\pi\left(\left(6x-x^2\right)^2-0^2\right)\ \mathrm{d}x}= \int\limits_0^6{\pi (36x^2-12x^3+x^4)\ \mathrm{d}x}=$$
$$\left[\pi \left(36\frac{x^3}{3}-12\frac{x^4}{4}+\frac{x^5}{5}\right)\right]^6_0=\pi \left(\left(12\cdot 6^3-3\cdot 6^4+\frac{6^5}{5}\right)-0\right)=\frac{6^4}{5}\pi .$$

Integrovanie funkcie jednej reálnej premennej

Určitý integrál  

Príklad 7: Vypočítajte dĺžku $l$ krivky $C$ danej vzťahom $y=\ln{\sin x}$, $x\in \left\langle \frac{\pi}{3},\frac{2\pi}{3}\right\rangle.$

Riešenie:
Ak je funkcia $f(x)$ je spojitá na intervale $\left\langle a,b\right\rangle$ a  má tam i spojitú prvú deriváciu, tak dĺžka  $l$  krivky  $C$ danej funkciou $y=f(x)$ na intervale $\left\langle a,b\right\rangle$ je
$$l=\int_a^b \sqrt{1+\left(f'(x)\right)^2} \ \mathrm{d}x.$$
Kedže $f'(x)=\left(\ln{\sin x}\right)'=\frac{\cos x}{\sin x}$, po dosadení do vzťahu na výpočet dĺžky krivky, s využitím rovnosti $\sin^2 x + \cos^2 x=1$, substitučnej metódy a následným integrovaním podľa vzorca  $\displaystyle\int{\frac{\mathrm{d}x}{a^2-x^2}}=\frac{1}{2a} \ln \left|\frac{a+x}{a-x}\right| + C$  dostávame
$$l=\int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{2\pi}{3}} \sqrt{1+\left(\frac{\cos x}{\sin x}\right)^2} \ \mathrm{d}x=\int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{2\pi}{3}} \sqrt{\frac{\sin^2 x + \cos^2 x}{\sin^2 x}} \ \mathrm{d}x=\int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{2\pi}{3}} \frac{1}{\sin x} \ \mathrm{d}x$$
$$=\int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{2\pi}{3}} \frac{1}{\sin x}\cdot 1 \ \mathrm{d}x=\int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{2\pi}{3}} \frac{1}{\sin x} \cdot\frac{\sin x}{\sin x}\ \mathrm{d}x$$
$$=\int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{2\pi}{3}} \frac{\sin x}{1-\cos^2 x}\ \mathrm{d}x=\left|\mathrm{Substit.} \begin{cases}  & \cos x = t \\ & -\sin x \ \mathrm{d} x = \mathrm{d}t \\ & x=\frac{\pi}{3} \Rightarrow \cos x = \frac{1}{2} \\ & x=\frac{2\pi}{3} \Rightarrow \cos x = \frac{-1}{2} \\ \end{cases}\right|=$$
$$-\int_{\frac{1}{2}}^{\frac{-1}{2}} \frac{1}{1-t^2 }\ \mathrm{d}t=-\left[\frac{1}{2}\ln\left| \frac{1+t}{1-t}\right| \right]_{\frac{1}{2}}^{\frac{-1}{2}}$$
$$=-\frac{1}{2}\ln\left| \frac{1+\frac{-1}{2}}{1-\frac{-1}{2}}\right|+\frac{1}{2}\ln\left| \frac{1+\frac{1}{2}}{1-\frac{1}{2}}\right|=\frac{ -\ln\frac{1}{3}+\ln 3 }{2}=\ln 3.$$

Integrovanie funkcie jednej reálnej premennej

Neurčitý integrál

Príklad 5: Vypočítajte neurčitý integrál $\displaystyle\int{\ln x\ \mathrm{d}x}.$

Riešenie: Daný integrál výpočítame pomocou metódy per partes - 2. typ. Keďže $\ln x=1\cdot \ln x$, v tomto prípade číslo $1$ považujeme za polynóm nultého stupňa.
$$\int{\ln x}\ \mathrm{d}x=\int{(\ln x)\cdot 1}\ \mathrm{d}x=\left|\begin{array}{cc} u(x)=\ln x & v^{\prime}(x)=1  \\ u^{\prime}(x)=\frac{1}{x} & v(x)=x \end{array}\right|$$
$$=x\cdot \ln {x} -\int{x\cdot \frac{1}{x}}\ \mathrm{d}x=x\cdot \ln {x}-x + C.$$

Integrovanie funkcie jednej reálnej premennej

Neurčitý integrál

Príklad 6: Vypočítajte neurčitý integrál $\displaystyle\int{e^x\cdot \sin {x}\ \mathrm{d}x}$.

Riešenie:  Daný integrál výpočítame pomocou  metódy per partes - 3. typ. Pri oboch použitiach vzorca $\int{u(x)\cdot v^{\prime}(x)\ \mathrm{d}x}= u(x)\cdot v(x) - \int{u^{\prime}(x)\cdot v(x)\ \mathrm{d}x}$ položíme  $u(x)$ rovné goniometrickej funkcii.
$$\int{e^x\cdot \sin {x}\ \mathrm{d}x}=\int{\sin {x} \cdot e^x \ \mathrm{d}x}=\left|\begin{array}{cc} u(x)=\sin {x} & v^{\prime}(x)=e^x  \\ u^{\prime}(x) & v(x)=e^x=\cos{x}\end{array}\right|$$
$$= e^x\cdot\sin {x} -\int{e^x\cdot \cos{x}\ \mathrm{d}x}=\left|\begin{array}{cc} u(x)=\cos {x} & v^{\prime}(x)=e^x \\ u^{\prime}(x)=-\sin{x} & v(x)=e^x\end{array}\right|$$
$$= e^x\cdot\sin {x} -\left(e^x\cdot\cos {x} -\int{e^x\cdot (-\sin{x})\ \mathrm{d}x}+C \right)$$

Dostaneme takto rovnicu 
$$\int{e^x\cdot \sin {x}\ \mathrm{d}x}=e^x\cdot\sin {x} -e^x\cdot\cos {x} -\int{e^x\cdot \sin{x}\ \mathrm{d}x}+C$$
Odkiaľ  
$$2\int{e^x\cdot \sin {x}\ \mathrm{d}x}=e^x\cdot\sin {x} -e^x\cdot\cos {x}+C$$
$$\int{e^x\cdot \sin {x}\ \mathrm{d}x}=\frac{1}{2}\left(e^x\cdot\sin {x} -e^x\cdot\cos {x}+C\right)$$

Integrovanie funkcie jednej reálnej premennej

Určitý integrál   

Príklad 1: Vypočítajte integrál $\displaystyle\int\limits_0^\infty{\frac{1}{x^2+1}\ \mathrm{d}x}.$

Riešenie: Na základe spojitosti funkcie $\frac{1}{x^2+1}$ ju možno integrovať podľa vzorca.
$$\int\limits_0^\infty{\frac{1}{x^2+1}\ \mathrm{d}x}= \lim_{c\rightarrow \infty}\int\limits_0^b{\frac{1}{x^2+1}}\ \mathrm{d}x=\lim_{b\rightarrow \infty}\left[\mathrm{arctg}\ x\right]_0^b$$
$$=\lim_{b\rightarrow \infty}\left(\mathrm{arctg}\ b-\mathrm{arctg}\ 0\right)=\frac{\pi}{2}.$$

Integrovanie funkcie jednej reálnej premennej

Určitý integrál   

Príklad 3: Vypočítajte určitý integrál $\displaystyle\int\limits_0^1{\mathrm{arctg}\ x\ \mathrm{d}x}.$

Riešenie: Funkcia $\mathrm{arctg}\ x$ je spojitá na $\mathbb{R}$, teda je integrovateľná na $\mathbb{R}$. Na výpočet primitívnej funkcie k funkcii $\displaystyle \mathrm{arctg}\ x$ použijeme metódu per partes.
$$\int{\mathrm{arctg}\ x\ \mathrm{d}x}=\left| \begin{array}{cc} \mathrm{arctg}\ x=u & 1=v^\prime \\ \frac{1}{x^2+1}=u^\prime & x=v\\ \end{array} \right|  =x\cdot\mathrm{arctg}\ x-\int{\frac{1}{x^2+1}\cdot x\ \mathrm{d}x}=*$$
Integrál $\displaystyle\int{\frac{1}{x^2+1}\cdot x\ \mathrm{d}x}$ najskôr upravíme, a potom vypočítame podľa vzorca
$$\int{\frac{f\prime(x)}{f(x)}\ \mathrm{d}x}=\ln |f(x)|+C.$$  
$$\int{\frac{1}{x^2+1}\cdot x\ \mathrm{d}x}=\frac{1}{2}\int{\frac{2x}{x^2+1}\ \mathrm{d}x}=\frac{1}{2}\ln |x^2+1|+C = \frac{1}{2}\ln (x^2+1)+C,$$
nakoľko $x^2$ je nezáporné. Teda
$$*= x\cdot\mathrm{arctg}\ x- \frac{1}{2}\ln (x^2+1)+C.$$
V závere použijeme Newton-Leibnizovu formulu:
$$\int\limits_0^1{\mathrm{arctg}\ x\ \mathrm{d}x}=\left[x\cdot\mathrm{arctg}\ x- \frac{1}{2}\ln(x^2+1)\right]_0^1=$$
$$\left(1\cdot\mathrm{arctg}\ 1- \frac{1}{2}\ln(1^2+1)\right)-\left(0\cdot\mathrm{arctg}\ 0- \frac{1}{2}\ln(0^2+1)\right) =\frac{\pi}{4}- \frac{1}{2}\ln 2.$$

Rady

Číselné rady 

Príklad 5: Vyšetrite konvergenciu radu $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{n}}{2^{n}\cdot n!}.$

Riešenie: Použijeme D'Alembertovo kritérium. Určíme
$$\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n} =\lim_{n\to\infty}\frac{\frac{(n+1)^{n+1}}{2^{n+1}\cdot (n+1)!}}{\frac{n^{n}}{2^{n}\cdot n!}} =\lim_{n\to\infty}\frac{\frac{(n+1)^{n}\cdot (n+1)}{2\cdot 2^{n}\cdot (n+1)\cdot n!}}{\frac{n^{n}}{2^{n}\cdot n!}} = \lim_{n\to\infty}\frac{(n+1)^{n}}{2\cdot n^{n}} =$$
$$=\frac{1}{2}\cdot\lim_{n\to\infty}\left(\frac{n+1}{n}\right)^{n} =\frac{1}{2}\cdot \underbrace{\lim_{n\to\infty}\left( 1 + \frac{1}{n}\right)^{n}}_{e}=\frac{1}{2}\cdot e=\frac{e}{2}>1.$$
Na základe toho odvodíme, že rad diverguje.

Integrovanie funkcie jednej reálnej premennej

Neurčitý integrál  

Príklad 2: Vypočítajte neurčitý integrál $\displaystyle\int{\mathrm{tg}^2 \  x\, \mathrm{d}x}.$

Riešenie: Keďže $\displaystyle\mathrm{tg}\  x=\frac{\sin x}{\cos x}$ a platí vzťah $1=\sin^2 x+\cos^2 x$, daný integrál môžeme vypočítať rozkladom a úpravou nasledovne:
$$\int{\mathrm{tg}^2 \ x\, \mathrm{d}x}=\int{\frac{\sin^2 x}{\cos^2 x}\, \mathrm{d}x}=\int{\frac{1-\cos^2 x}{\cos^2 x}\, \mathrm{d}x}=\int{\left(\frac{1}{\cos^2 x}-\frac{\cos^2 x}{\cos^2 x}\right)\ \mathrm{d}x}$$  
$$=\int{\frac{1}{\cos^2 x}\, \mathrm{d}x}-\int{1\, \mathrm{d}x}=\mathrm{tg}\  x-x+C.$$

Integrovanie funkcie jednej reálnej premennej

Neurčitý integrál  

Príklad 3: Určte primitívnu funkciu k funkcii $f(x)=\sin{3x}$.

Riešenie: Primitívnu funkciu k funkcii $f(x)=\sin{3x}$ sa pokúsime nájsť odhadom. Vieme, že
$$\int{\sin{x}\ \mathrm{d}x}=-\cos{x}+C.$$
Dá sa teda predpokladať, že aj primitívna funkcia k funkcii $\sin{3x}$ bude vo svojom vyjadrení obsahovať výraz $-\cos{3x}$.  Funkcia $-\cos{kx}$ pre $k\notin \{0; 1\}$ je zložená funkcia, ktorej derivácia je
$$[-\cos{kx}]^{\prime}=(\sin{k x})\cdot[kx]^{\prime}=k\cdot\sin{k x},$$
teda $k$ krát väčšia ako $\sin{k x}$. Pri integrovaní funkcie $f(x)=\sin{k x}=\sin{3x}$ musíme výraz $-\cos{kx}=-\cos{3x}$ predeliť $k=3$, aby sme dostali primitívnu funkciu k $f(x)$. Dostaneme
$$\int{\sin{3 x}\ \mathrm{d}x}=\frac{1}{3}(-\cos{3x})+C=\frac{-\cos{3x}}{3}+C.$$

Integrovanie funkcie jednej reálnej premennej

Neurčitý integrál

Príklad 7: Vypočítajte neurčitý integrál $\displaystyle\int{\frac{x}{\cos^2{x}}\ \mathrm{d}x}$.

Riešenie: Integrál budeme riešiť metódou per partes - 4. typ. Podintegrálnu funkciu zapíšeme v tvare súčinu $$f(x)=\frac{x}{\cos^2{x}}=\frac{1}{\cos^2{x}}\cdot {x}.$$
Na ľahko zintegrovateľný nepolynomický činiteľ súčinu budeme nahliadať ako na zderivovanú funkciu. Zapíšeme:
$$\int{\frac{x}{\cos^2{x}}\ \mathrm{d}x}=\int{{x\cdot\frac{1}{\cos^2{x}}}\ \mathrm{d}x}=\left|\begin{array}{cc}  u(x)=x &  v^{\prime}(x)=\cos^{-2}{x} \\ u^{\prime}(x)=1 & v(x)=\mathrm{tg}\ {x}\end{array}\right|=$$
$$x\cdot\mathrm{tg}\ {x}-\int{\mathrm{tg}\ {x}\ \mathrm{d}x}=x\cdot\mathrm{tg}\ {x}+\int{\frac{-\sin{x}}{\cos{x}}\ \mathrm{d}x}=x\cdot\mathrm{tg}\ {x}+\ln{|\cos{x}|}+C.$$