Integrovanie funkcie jednej reálnej premennej 

Neurčitý integrál 

Príklad 12: Vypočítajte neurčitý integrál $\displaystyle\int{\frac{1}{(x-1)(x^2+4)}\ \mathrm{d}x}.$

Riešenie: Funkcia $\displaystyle \frac{1}{(x-1)(x^2+4)}$ je rýdzoracionálna, v čitateli je polynóm nultého stupňa a v menovateli polynóm tretieho stupňa. Integovať budeme za pomoci \textbf{rozkladu na parciálne zlomky}.
Polynóm $x^2+4$ je ireducibilný nad $\mathbb{R}$. Preto v menovateli druhého parciálneho zlomku vystupuje on sám a v čitateli vystupuje všeobecný tvar polynómu prvého stupňa.
Rozklad na parciálne zlomky hľadáme v tvare:
$$\frac{1}{(x-1)(x^2+4)}=\frac{A}{x-1}+\frac{Bx+C}{x^2+4},$$
kde $A$, $B$, $C\in\mathbb{R}$ sú neurčité koeficienty, ktoré vypočítame metódou neurčitých koeficientov. Postavíme do rovnosti
\begin{eqnarray*}
\frac{1}{(x-1)(x^2+4)}&=&\frac{A}{x-1}+\frac{Bx+C}{x^2+4}\\\frac{1}{(x-1)(x^2+4)}&=&\frac{A(x^2+4)+(Bx+C)(x-1)}{(x-1)(x^2+4)}\\
\frac{1}{(x-1)(x^2+4)}&=&\frac{Ax^2+4A+Bx^2-Bx+Cx-C}{(x-1)(x^2+4)}
\end{eqnarray*} 
Aby sa zlomky rovnali, musí platiť:
\begin{eqnarray*}
1&=&Ax^2+4A+Bx^2-Bx+Cx-C\\
0x^2+0x+1&=&(A+B)x^2+(C-B)x+(4A-C)
\end{eqnarray*}
Porovnaním koeficientov pri rovnakých mocninách $x$ dostaneme sústavu troch lineárnych rovníc o troch neznámych:
\begin{eqnarray*}
\textrm{koeficient pri} \qquad x^2: \phantom{4}A+B&=&0,\\
\textrm{koeficient pri} \qquad x^1: \phantom{4}C-B&=&0,\\
\textrm{koeficient pri} \qquad x^0: 4A-C&=&1.
\end{eqnarray*}
Jej riešením je $\displaystyle{A=\frac{1}{5}}$, $\displaystyle{B=-\frac{1}{5}}$, $\displaystyle{C=-\frac{1}{5}}$. Potom
$$\int{\frac{1}{(x-1)(x^2+4)}\ \mathrm{d}x}=\int{\frac{\frac{1}{5}}{x-1}\ \mathrm{d}x}+\int{\frac{-\frac{1}{5}x-\frac{1}{5}}{x^2+4}\ \mathrm{d}x}$$
$$=\frac{1}{5}\int{\frac{1}{x-1}\ \mathrm{d}x}-\frac{1}{5}\int{\frac{x+1}{x^2+4}\ \mathrm{d}x}$$
$$=\frac{1}{5}\int{\frac{1}{x-1}\ \mathrm{d}x}-\frac{1}{5}\int{\frac{x}{x^2+4}\ \mathrm{d}x}-\frac{1}{5}\int{\frac{1}{x^2+4}\ \mathrm{d}x}$$
$$=\frac{1}{5}\ln\left|x-1\right|-\frac{1}{10}\ln\left|x^2+4\right|-\frac{1}{10}\mathrm{arctg} \frac{x}{2}+C_0. $$