Rady

Funkcionálne rady 

Príklad 4: Rozviňte funkciu $f(x)=\frac{1}{1+x}$ do Maclaurinovho radu.

Riešenie: Maclaurinov rad je Taylorov rad so stredom $x_0=0$, preto najskôr určíme hodnotu derivácií funkcie $f(x)=\frac{1}{1+x}$ v bode $x_0$.
$f(x_0)=\frac{1}{1+0}=1$. 
$f'(x)=((1+x)^{-1})'=\frac{-1}{(1+x)^2} \quad \Rightarrow \quad f'(x_0)=\frac{-1}{(1+0)^2}=-1$
$f''(x)=(-(1+x)^{-2})'=\frac{2}{(1+x)^3} \quad \Rightarrow \quad f''(x_0)=\frac{2}{(1+0)^3}=2$
$f'''(x)=(2\cdot(1+x)^{-3})'=\frac{-2\cdot 3}{(1+x)^4} \quad \Rightarrow \quad f'''(x_0)=\frac{-2\cdot 3}{(1+0)^4}=-2\cdot 3$ 
Pozorovaním tvaru derivácií v bode $x_0=0$ odvodíme, že $f^{(n)}(x_0)=(-1)^{n}n!$.
Do všeobecného vyjadrenia Taylorovho radu
$$f(x)=f(x_0)+\frac{f'(x_0)}{1!}(x-x_0)^1+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+...+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n...$$
dosadíme získané derivácie v bode $x_0=0$. Dostaneme
$$f(x)=1+\frac{-1}{1!}(x)^1+\frac{2}{2!}(x)^2+\frac{-2\cdot 3}{3!}(x)^3+\dots+\frac{(-1)^{n}n!}{n!}(x)^n\dots$$
$$f(x)=1-x+x^2-x^3+\dots+(-1)^{n}x^n\dots=\sum_{n=0}^\infty (-1)^{n}x^n.$$