Rady
Funkcionálne rady
Príklad 2: Vyšetrite konvergenciu radu \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} (5-x^{2})^{n}.
Riešenie: Použijeme upravené Cauchyho kritérium. Vyrátame
\lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{\left| f(n) \right|}= \lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{\left| (5-x^{2})^{n} \right|} = \left| 5-x^{2} \right| .
Tento rad je konvergentný pre \lim_{n\to\infty} \left| 5-x^{2} \right|<1, teda -1< 5-x^{2}<1, t.j. x^{2}\in(4;6).
Interval konvergencie radu \sum\limits_{n=1}^{\infty} (5-x^{2})^{n} je
(-\sqrt{6};-2)\cup(2;\sqrt{6}).
Pre vyšetrenie konvergencie radu v hraničných bodoch intervalu konvergencie využijeme kritéria konvergencie číselných radov.
Pre x=\pm \sqrt{6} dostaneme divergentný rad
\sum\limits_{n=1}^{\infty} (5-(\pm \sqrt{6})^{2})^{n} = \sum\limits_{n=1}^{\infty} (5-6)^{n} = \sum\limits_{n=1}^{\infty} (-1)^{n}, lebo neexistuje \displaystyle\lim_{n\to\infty} a_n, a teda nie je splnená nutná podmienka konvergencie radu.
Pre x=\pm 2 dostaneme taktiež divergentný rad \sum\limits_{n=1}^{\infty} (5-(\pm 2)^{2})^{n} = \sum\limits_{n=1}^{\infty} (5-4)^{n} = \sum\limits_{n=1}^{\infty} (1)^{n}, lebo nemá konečný súčet.
Obor konvergencie radu \sum\limits_{n=1}^{\infty} (5-x^{2})^{n} je (-\sqrt{6};-2)\cup(2;\sqrt{6}).
No comments:
Post a Comment