Rady

Funkcionálne rady 

Príklad 2: Vyšetrite konvergenciu radu $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} (5-x^{2})^{n}$.

Riešenie: Použijeme upravené Cauchyho kritérium. Vyrátame
$$\lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{\left| f(n) \right|}= \lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{\left| (5-x^{2})^{n} \right|} = \left| 5-x^{2} \right| .$$
Tento rad je konvergentný pre $$\lim_{n\to\infty} \left| 5-x^{2} \right|<1,$$ teda $$-1< 5-x^{2}<1,$$  t.j. $$x^{2}\in(4;6).$$
Interval konvergencie radu $$\sum\limits_{n=1}^{\infty} (5-x^{2})^{n}$$ je 
$$(-\sqrt{6};-2)\cup(2;\sqrt{6}).$$
Pre vyšetrenie konvergencie radu v hraničných bodoch intervalu konvergencie využijeme kritéria konvergencie číselných radov. 
Pre $x=\pm \sqrt{6}$ dostaneme divergentný rad
$$\sum\limits_{n=1}^{\infty} (5-(\pm \sqrt{6})^{2})^{n} = \sum\limits_{n=1}^{\infty} (5-6)^{n} = \sum\limits_{n=1}^{\infty} (-1)^{n},$$ lebo neexistuje $\displaystyle\lim_{n\to\infty} a_n$, a teda nie je splnená nutná podmienka konvergencie radu.
Pre $x=\pm 2$ dostaneme taktiež  divergentný rad $$\sum\limits_{n=1}^{\infty} (5-(\pm 2)^{2})^{n} = \sum\limits_{n=1}^{\infty} (5-4)^{n} = \sum\limits_{n=1}^{\infty} (1)^{n},$$ lebo nemá konečný súčet. 
Obor konvergencie radu $$\sum\limits_{n=1}^{\infty} (5-x^{2})^{n}$$ je  $$(-\sqrt{6};-2)\cup(2;\sqrt{6}).$$