Rady

Funkcionálne rady 

Taylorov rozvoj funkcie 
Ak existuje mocninový rad $\sum_{n=0}^{\infty} a_n (x-x_0)^{n}$ so stredom v bode $x_0$ taký, že konverguje v nejakom okolí bodu $x_0$ k funkcii $f(x)$ a ak má funkcia $f(x)$ v bode $x_0$ všetky derivácie, tak ho môžeme v okolí bodu $x_0$ rozvinúť do Taylorovho radu. 

Nech $f(x)$ je $(n+1)$-krát diferencovateľná funkcia v bode $x_0$, definovaná na okolí $\mathcal{O}(x_0)$ bodu $x_0$. Potom platí
$$f(x)=f(x_0)+\frac{f'(x_0)}{1!}(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^{2}+\dots$$ $$\dots+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^{n}+R_{n+1}(x),$$
kde výraz $R_{n+1}(x)$ označuje zvyšok.
Tento vzorec sa nazýva Taylorov vzorec a jeho prvá časť  (časť bez zvyšku) sa nazýva $n$-tý Taylorov polynóm alebo Taylorov aproximačný polynóm funkcie $f(x)$ so stredom v bode $x_0$.

Aby bol polynóm $p(x)$ konečného stupňa $n$ Taylorovým polynómom, musí platiť:
$$\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-p(x)}{(x-x_0)^{n}}=0.$$

Taylorov polynóm využívame pri hľadaní približných hodnôt funkcií. Taylorov rad si najskôr predstavíme ako nekonečný súčet, vypočítame niekoľko prvých členov polynómu a ostatné členy zapíšeme v tvare zvyšku $o(x^{k})$. Chybu výpočtu pri takejto aproximácii odhadneme napríklad pomocou Lagrangeovho tvaru zvyšku:
$$R_{n+1}(x)=\frac{f^{(n+1)}(\zeta)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1},$$
kde pre $x<x_0$ je číslo $\zeta\in(x,x_0)$, pre $x>x_0$ je $\zeta\in(x_0,x)$.