Rady

Číselné rady 

Príklad 9: Teleso $T$ sa pohybuje rovnomerne zrýchleným pohybom. V časových intervaloch $\frac{1}{2}$, $\frac{1}{2^2}$, $\frac{1}{2^3}\dots$ sa postupne zväčšuje jeho rýchlosť (vyjadrená v metroch za sekundu) podľa nekonečnej aritmetickej postupnosti $1,2,3\dots$ Určte strednú rýchlosť pohybu telesa $T$. 


Riešenie:  Určiť strednú rýchlosť pohybu telesa znamená určiť súčet vzniklejšieho radu $$1\cdot\frac{1}{2}+2\cdot\frac{1}{2^2}+3\cdot\frac{1}{2^3}+\dots$$ Vzťah pre súčet geometrického radu umožňuje určiť nasledovné: 
$$\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\dots=\frac{1}{2^1}\cdot\frac{1}{1-\frac{1}{2}}=1$$
$$\phantom{\frac{1}{2}+}\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\dots=\frac{1}{2^2}\cdot\frac{1}{1-\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}$$
$$\phantom{\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+}\frac{1}{2^3}+\dots=\frac{1}{2^3}\cdot\frac{1}{1-\frac{1}{2}}=\frac{1}{4}$$
$$\vdots$$
Pri verikálnom sčítaní ľavých strán zistíme, že rad z úlohy korešponduje s konvergentným geometrickým radom s prvým členom $1$ a kvocientom $\frac{1}{2}$, ktorého súčet vieme určiť:  
$$1\cdot\frac{1}{2}+2\cdot\frac{1}{2^2}+3\cdot\frac{1}{2^3}+\dots=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\dots$$
$$=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\dots=1\cdot\frac{1}{1-\frac{1}{2}}=2.$$
Stredná rýchlosť pohybu telesa $T$ je $2$ metre za sekundu.