Rady

Číselné rady 

Príklad 3: Vyšetrite konvergenciu radu $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\sin\frac{3}{n}.$

Riešenie: Využijeme porovnávacie kritérium v limitnom tvare. Položme $a_{n} = \sin \frac{3}{n}$ a $b_{n} = \frac{3}{n}$, čiže porovnávať budeme s násobkom harmonického radu: $$c\cdot\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{n}=\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{3}{n}=\sum\limits_{n=1}^\infty b_n.$$
(Poznamenajme, že harmonický rad je príkladom nekonečného číselného radu, ktorý síce spĺňa nutnú (nie však postačujúcu) podmienku konvergencie radu, menovite, že členy radu $\sum\limits_{n=1}^{\infty} {h_n}=\sum\limits_{n=1}^{\infty} {\frac{1}{n}}$ konvergujú  nule, avšak samotný harmonický rad diverguje. Keďže harmonický rad má nekonečný súčet, aj každý jeho nenulový násobok má nekonečný súčet, preto je taktiež divergentný.)
Vieme, že  $\lim\limits_{k \to \ 0} \frac{\sin k}{k} = 1$. Ak tu označíme $k=\frac{3}{n}$, tak $k\to 0 \Leftrightarrow n \to\infty$. Preto máme
$$\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n}}{b_{n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{\sin{\frac{3}{n}}}{\frac{3}{n}} = 1.$$
Teda $$0 < \lim\limits_{n\to\infty}\frac{a_{n}}{b_{n}} < + \infty.$$
Podľa Porovnávacieho kritéria v limitnom tvare sú obidva rady $\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_{n}$ aj $\sum\limits_{n=1}^{\infty} b_{n}$ buď súčasne konvergentné alebo súčasne divergentné. Keďže harmonický rad je divergentný, aj jeho $c$-náskobok je divergentný, teda aj rad $\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_{n}=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\sin\frac{3}{n}$ je divergentný.