Integrovanie funkcie jednej reálnej premennej

Neurčitý integrál  

Príklad 8: Vypočítajte neurčitý integrál $\displaystyle\int{\frac{1}{x \ln{x}} \ \mathrm{d}x}.$

Riešenie: Pri riešení využijeme substitučnú metódu, pričom substituovať budeme nepolynomický výraz $\ln{x}$. Výpočet samotného integrálu (aj so záverečnou resubstitúciou) bude vyzerať nasledovne:
$$\int{\frac{\ \mathrm{d}x}{x\ln x}}= \left[ \mathrm{Substit.} \  \ln{x}=u, \  \frac{1}{x} \ \mathrm{d}x=1 \ \mathrm{d}u \right]  =\int{\frac{1}{\ln x}\cdot\underbrace{\frac{1}{x}\ \mathrm{d}x}_{\mathrm{d}u}}$$
$$=\int{\frac{1}{u}\ \mathrm{d}u} =\ln {|u|} +C=\ln {|\ln x|} +C.$$

Ak by sme pri voľbe metódy riešenia siahli po integrovaní  podľa vzorca $\displaystyle\int{\frac{f^{\prime}(x)}{f(x)}\ \mathrm{d}x}=\ln|x|+C$, v ktorom $f(x)=\ln x$ a  $\displaystyle{f^{\prime}(x)\ \mathrm{d}x= \frac{1}{x} \ \mathrm{d}x}$, výpočet by vyzeral nasledovne:
$$\int{\frac{\ \mathrm{d}x}{x\ln x}}=\int{\frac{\frac{1}{x} \  \mathrm{d}x}{\ln x}}= \ln {|\ln x|} +C.$$
V oboch prípadoch sa dopracujeme k ekvivalentným výsledkom.