Rady

Funkcionálne rady 

Príklad 6: Vypočítajte približnú hodnotu integrálu  $\displaystyle\int\limits_{\frac{1}{8}}^{\frac{1}{4}}9x\ln{(1+3x)} \ \mathrm{d}x .$

Riešenie: V Príklade 5 venovanom problematike funkcionálnych radov sme odvodili rozvoj funkcie $9x\ln{(1+3x)}$ do Maclaurinovho radu:
$$9x\cdot\ln(1+3x)=3^{3}x^2-\frac{3^{4}x^3}{2}+\frac{3^{5}x^{4}}{3}- \dots+\frac{(-1)^{n-1}3^{n+2}x^{n+1}}{n}+\dots$$
Preto
$$\int\limits_{\frac{1}{8}}^{\frac{1}{4}}9x\ln{(1+3x)} \ \mathrm{d}x = \int\limits_{\frac{1}{8}}^{\frac{1}{4}} 3^{3}x^2-\frac{3^{4}x^3}{2}+\frac{3^{5}x^{4}}{3}- \dots+\frac{(-1)^{n-1}3^{n+2}x^{n+1}}{n}+\dots$$
$$=\left[ 3^{2}x^3-\frac{3^{4}x^4}{8}+\frac{3^{5}x^{5}}{15}- \dots+\frac{(-1)^{n-1}3^{n+2}x^{n+2}}{n\cdot(n+2)}+\dots \right]_{\frac{1}{8}}^{\frac{1}{4}}$$
$$\approx \left[ 3^{2}x^3-\frac{3^{4}x^4}{8}+\frac{3^{5}x^{5}}{15}-\frac{3^{6}x^{6}}{24}\right]_{\frac{1}{8}}^{\frac{1}{4}}$$
$$=\left( 3^{2}\left({\frac{1}{4}}\right)^3-\frac{3^{4}\left({\frac{1}{4}}\right)^4}{8}+\frac{3^{5}\left({\frac{1}{4}}\right)^{5}}{15}-\frac{3^{6}\left({\frac{1}{4}}\right)^{6}}{24}\right)+$$
$$-\left( 3^{2}\left({\frac{1}{8}}\right)^3-\frac{3^{4}\left({\frac{1}{8}}\right)^4}{8}+\frac{3^{5}\left({\frac{1}{8}}\right)^{5}}{15}-\frac{3^{6}\left({\frac{1}{8}}\right)^{6}}{24}\right)\doteq 0,094.$$