Integrovanie funkcie jednej reálnej premennej

Určitý integrál  

Príklad 5: Vypočítajte obsah časti roviny ohraničenej krivkami: $y=x^3$,  $y=x$ (pre $x\in\langle -1; 1\rangle$).

Riešenie: Ak sú funkcie $f(x)$ a $g(x)$ spojité na intervale $\left\langle a,b\right\rangle$ a platí $g(x)\leq f(x)$, tak plošný obsah $P$ množiny bodov v rovine, ktoré spĺňajú nerovnosti $a\leq x\leq b$ a $g(x)\leq y \leq f(x)$} je daný vzťahom
$$\displaystyle P=\int\limits_{a}^b{\left(f(x)-g(x)\right)\ \mathrm{d}x}.$$
V našom prípade je potrebné si uvedomiť, že pre $x>0$ leží priamka $y=x$ nad krivkou $y=x^3$, teda vo vzorci na výpočet obsahu časti roviny ohraničenej krivkami je $f(x)=x$ a $g(x)=x^3$, kým pre $x<0$ je to opačne, keďže krivka $y=x^3$ leží nad priamkou $y=x$. Obe funkcie sú však spojité, teda integrovateľné. Hranice integrovania možno nájsť ako priesečníky kriviek $y=x^3$ a $y=x$, teda riešením rovnice $x^3=x$ odkiaľ
$$x^3-x=x(x^2-1)=x(x-1)(x+1)=0$$
 dáva riešenie len pre $x\in\{-1,0,1\}$.  Preto môžeme písať:
$$P=\int_{-1}^{0^{-}} {x^3-x \ \mathrm{d}x}+\int_{0}^1 {x-x^3 \ \mathrm{d}x}=\lim_{b\to 0^{-}}\int_{-1}^{b} {x^3-x \ \mathrm{d}x}+\int_{0}^1 {x-x^3 \ \mathrm{d}x}=$$
$$\lim_{b\to 0^{-}}\left[\frac{x^4}{4}-\frac{x^2}{2}\right]_{-1}^b+\left[\frac{x^2}{2}-\frac{x^4}{4}\right]_0^1=$$
$$\lim_{b\to 0^{-}}\left(\left(\frac{b^4}{4}-\frac{b^2}{2}\right)-\left(\frac{(-1)^4}{4}-\frac{(-1)^2}{2}\right)\right)+\left(\left(\frac{1^2}{2}-\frac{1^4}{4}\right)-\left(\frac{0^2}{2}-\frac{0^4}{4}\right)\right)$$
$$=\left(0-\left(-\frac{1}{4}\right)\right)+\left(\frac{1}{4}-0\right)=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}.$$