Integrovanie funkcie jednej reálnej premennej

Numerické metódy výpočtu integrálov 

Príklad 3: Simpsonovou metódou, pomocou delenia intervalu $\left\langle 1;2\right\rangle$ na $n = 10$ podintervalov, vypočítajte hodnotu integrálu $\displaystyle\int\limits^2_1{x^2e^{x^2}} \ \mathrm{d}x$.
Odhadnite chybu numerického výpočtu.

Riešenie: Približnú hodnotu integrálu $\displaystyle\int\limits_1^2{x^2e^{x^2}}\ \mathrm{d}x$ vypočítame na základe vzťahu
$$\int\limits_a^{b} {f(x) \ dx} \approx \frac{h}{3}\left(y_0+ 4y_1+ 2y_2+ 4y_3+\dots+ 2y_{2m-2}+4y_{2m-1}+y_{2m}\right),$$
kde $h=\frac{b-a}{n}$. V našom prípade $h=\frac{1}{10}=0,1$.

Interval $\left\langle a;b\right\rangle=\left\langle 1;2\right\rangle$ deliacimi bodmi $x_0=1$, $x_1=1,1, \dots,x_{n-1}=1,9$, $x_n=2$ rozdelíme na $10$ ekvidistančných podintervalov. V bodoch $x_0$, $x_1,\dots, x_{n-1}, x_n$ určíme funkčné hodnoty funkcie $f(x)=x^2e^{x^2}$. Dostaneme hodnoty:
$f(1,0)=2,72$
$f(1,1)=4,06$
$f(1,2)=6,08$
$f(1,3)=9,16$
$f(1,4)=13,91$
$f(1,5)=21,35$
$f(1,6)=33,12$
$f(1,7)=52,00$
$f(1,8)=82,73$
$f(1,9)=133,45$
$f(2,0)=218,39$
$$\int\limits_1^2{x^2e^{x^2}}\ \mathrm{d}x \approx\frac{1}{30}\left(2,72+ 4\cdot 4,06+ 2\cdot 6,08 +4\cdot 9,16+ 2\cdot 13,91+ 4\cdot 21,35\right.$$
$$\left. +2\cdot 33,12+ 4\cdot 52,00+ 2\cdot 82,73+ 4\cdot 133,45+ 218,39\right)= 45,76.$$

Pre odhad chyby Simpsonovej metódy využijeme vzorec:
$$\left|R(f)\right|\leq\frac{(b-a)^5}{180n^4}\cdot M_4, \qquad \mathrm{kde} \qquad  M_4=\max\limits_{\left\langle a;b\right\rangle}\left\{|f^{IV}(x)|\right\}.$$
V našom prípade
$$f^{\prime}(x)=\left(x^2e^{x^2}\right)^{\prime}=2xe^{x^2}+x^2e^{x^2}2x=2xe^{x^2}(1+x^2),$$
$$f^{\prime\prime}(x)=\left(2xe^{x^2}(1+x^2)\right)^{\prime}=\dots=2e^{x^2}\left(4x^4+5x^2+1\right),$$
$$f^{\prime\prime\prime}(x)=\left(2e^{x^2}\left(4x^4+5x^2+1\right) \right)^{\prime}=\dots=8e^{x^2}\left(3x^5+9x^3+3x\right),$$
$$f^{(4)}(x)=\left( 8e^{x^2}\left(3x^5+9x^3+3x\right)\right)^{\prime} =\dots=8e^{x^2}\left(8x^6+42x^4+39x^2+6\right).$$
Funkcia $f(x)$ nadobúda na intervale $\left\langle 1;2\right\rangle$ maximum v bode $2$, preto
$$M_4=8e^{2^2}\left(8\cdot 2^6+42\cdot 2^4+39\cdot 2^2+6\right)= 10768e^4$$
$$\left|R(f)\right|\leq \frac{1^5}{180\cdot 10^4}\cdot 10768e^4 \approx 0,327.$$

Výpočet určitého integrálu $\displaystyle\int\limits_1^2{x^2e^{x^2}}\ \mathrm{d}x$ Simpsonovou metódou je vzhľadom na priebeh funkcie $f(x)$ presnejší ako výpočet toho istého integrálu obdĺžnikovou metódou či lichobežníkovou metódou. Skutočná hodnota integrálu sa nachádza v intervale
$$\left\langle 45,76-0,327;45,76+0,327\right\rangle=\left\langle 45,433;46,087\right\rangle.$$