Integrovanie funkcie jednej reálnej premennej 

Neurčitý integrál 

Príklad 11: Vypočítajte neurčitý integrál $\displaystyle\int{\frac{2x+5}{x^2-x-2}\ \mathrm{d}x}.$

Riešenie: Daná funkcie je racionálna. V čitateli aj v menovateli tohto zlomku sa nachádza polynóm.
Keďže v čitateli je polynóm prvého stupňa a v menovateli je polynóm druhého stupňa, táto funkcia je rýdzoracionálna. Rozložíme ju na súčet parciálnych zlomkov. Keďže kvadratická rovnica $x^2-x-2=0$ má korene $x_1=2$, $x_2=-1$, reducibilný výraz $x^2-x-2$ možno zapísať v tvare súčinu koreňových činiteľov $x^2-x-2=(x-2)(x+1)$. Potom
$$\int{\frac{2x+5}{x^2-x-2} \ \mathrm{d}x}=\int{ \frac{2x+5}{(x-2)(x+1)}\ \mathrm{d}x}=\int{ \frac{A}{(x-2)}+\frac{B}{(x+1)}\ \mathrm{d}x}.$$
Dva integrály sa rovnajú, ak sa rovnajú podintegrálne funkcie.
$$\frac{2x+5}{x^2-x-2}= \frac{A(x+1)+ B(x-2)}{(x-2)(x+1)}.$$
Zlomky upravíme na rovnakého menovateľa: 
$$\frac{2x+5}{x^2-x-2}= \frac{(A+B) x +A-2B}{x^2-x-2}.$$
Dva zlomky s rovnakým menovateľom sa rovnajú vtedy, ak sa rovnajú ich čitatelia:
$$2x+5 = (A+B)x+A-2B$$
Pomocou porovnania polynómov určíme neurčité koeficienty (táto metóda sa nazýva metóda neurčitých koeficientov). Dva polynómy premennej $x$ sa rovnajú vtedy, ak sa rovnajú koeficienty pri rovnakých mocninách premennej $x$.
Teda
$$\begin{eqnarray*} \textrm{koeficient pri} \qquad x^1: \quad 2&=&A+B,\\ \textrm{koeficient pri} \qquad x^0: \quad 5&=&A-2B. \end{eqnarray*}$$
Dostali sme sústavu dvoch rovníc o dvoch neznámych. Ľahko vidno, že jej riešením je: $A=3$ a $B=-1$. Potom 
$$\int{\frac{2x+5}{x^2-x-2}\ \mathrm{d}x}= \int{\frac{3}{(x-2)}\ \mathrm{d}x}+\int{\frac{-1}{(x+1)}\ \mathrm{d}x}$$
$$=3\cdot \int{\frac{1}{(x-2)}\ \mathrm{d}x}-\int{\frac{1}{(x+1)}\ \mathrm{d}x}.$$
Využitím vzťahu $\displaystyle{\int{\frac{f^{\prime}(x)}{f(x)}\ \mathrm{d}x}=\ln{|f(x)|+C}}$ môžeme zapísať:
$$\int{\frac{2x+5}{x^2-x-2}\ \mathrm{d}x}=3\cdot\ln\left|x-2\right|-\ln\left|x+1\right|+C=\ln\frac{(\left|x-2\right|)^3}{\left|x+1\right|}+C.$$