Rady

Funkcionálne rady 

Príklad 1: Vyšetrite konvergenciu radu $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(x+2)^{n+1}}{3^{n}(n+1)(n+2)}$.

Riešenie: Využijeme upravené D'Alembertovo kritérium. Vyrátame
$$\lim_{n\to\infty} \left| \frac{f_{n+1}(x)}{f_n(x)} \right| =
\lim_{n\to\infty} \left|\frac{\frac{(x+2)^{n+2}}{3^{n+1}(n+2)(n+3)}}{\frac{(x+2)^{n+1}}{3^{n}(n+1)(n+2)}}\right| = \lim_{n\to\infty} \left|\frac{(x+2)(n+1)}{3(n+3)} \right| = $$
$$= \left|\frac{x+2}{3} \right| \lim_{n\to\infty} \frac{n+1}{n+3} = \left|\frac{x+2}{3} \right| \cdot 1 = \left|\frac{x+2}{3} \right| $$
Tento rad je konvergentný pre
$$\lim_{n\to\infty} \left| \frac{f_{n+1}(x)}{f_n(x)} \right|<1$$
$$\left|\frac{x+2}{3} \right|<1$$
$$-1<\frac{x+2}{3}<1$$
$$-3<x+2<3$$
$$-5<x<1$$
Teda interval konvergencie radu je $(-5;1)$. 
Pre vyšetrenie konvergencie radu v hraničných bodoch intervalu konvergencie využijeme kritéria konvergencie číselných radov. 
Pre $x=-5$ pomocou Leibnitzovho kritéria vyšetríme konvergenciu alternujúceho radu 
$$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-3)^{n+1}}{3^{n}(n+1)(n+2)}.$$
Rad je konvergentný, viď Príklad 8 v časti príkladov venovaných číselným radom. 
Pre $x=1$ vyšetríme konvergenciu radu 
$$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(3)^{n+1}}{3^{n}(n+1)(n+2)} =
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{3}{(n+1)(n+2)}.$$
Rad je konvergentný, lebo jeho súčet je $s=\frac{3}{2}$, viď Príklad 1 v časti príkladov venovaných číselným radom. 
Obor konvergencie funkcionálneho radu $$\displaystyle\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{(x+2)^{n+1}}{3^{n}(n+1)(n+2)}$$ je $$\langle -5;1 \rangle.$$