Rady
Funkcionálne rady
Príklad 1: Vyšetrite konvergenciu radu \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(x+2)^{n+1}}{3^{n}(n+1)(n+2)}.
Riešenie: Využijeme upravené D'Alembertovo kritérium. Vyrátame
\lim_{n\to\infty} \left| \frac{f_{n+1}(x)}{f_n(x)} \right| = \lim_{n\to\infty} \left|\frac{\frac{(x+2)^{n+2}}{3^{n+1}(n+2)(n+3)}}{\frac{(x+2)^{n+1}}{3^{n}(n+1)(n+2)}}\right| = \lim_{n\to\infty} \left|\frac{(x+2)(n+1)}{3(n+3)} \right| =
= \left|\frac{x+2}{3} \right| \lim_{n\to\infty} \frac{n+1}{n+3} = \left|\frac{x+2}{3} \right| \cdot 1 = \left|\frac{x+2}{3} \right|
Tento rad je konvergentný pre
\lim_{n\to\infty} \left| \frac{f_{n+1}(x)}{f_n(x)} \right|<1
\left|\frac{x+2}{3} \right|<1
-1<\frac{x+2}{3}<1
-3<x+2<3
-5<x<1
Teda interval konvergencie radu je (-5;1).
Pre vyšetrenie konvergencie radu v hraničných bodoch intervalu konvergencie využijeme kritéria konvergencie číselných radov.
Pre x=-5 pomocou Leibnitzovho kritéria vyšetríme konvergenciu alternujúceho radu
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-3)^{n+1}}{3^{n}(n+1)(n+2)}.
Rad je konvergentný, viď Príklad 8 v časti príkladov venovaných číselným radom.
Pre x=1 vyšetríme konvergenciu radu
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(3)^{n+1}}{3^{n}(n+1)(n+2)} = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{3}{(n+1)(n+2)}.
Rad je konvergentný, lebo jeho súčet je s=\frac{3}{2}, viď Príklad 1 v časti príkladov venovaných číselným radom.
Obor konvergencie funkcionálneho radu \displaystyle\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{(x+2)^{n+1}}{3^{n}(n+1)(n+2)} je \langle -5;1 \rangle.
No comments:
Post a Comment