Plošný integrál 

 

Parametrizácia plochy 

Príklad 1: Nájdite parametrizáciu plochy $S$, ktorá je časťou roviny

$$\frac{x}{2}+\frac{y}{3}+\frac{z}{4}=1$$ ležiacou v 1. oktante.

Riešenie: Keďže všeobecná rovnica roviny je 

$$a\cdot x+b\cdot y+c\cdot z+d=0,$$

ľahko ju možno parametrizovať pomocou 2 parametrov.

Rovnicu roviny 

$$S: \frac{x}{2}+\frac{y}{3}+\frac{z}{4}=1$$

prenásobíme $12$ a vyjadríme $z$. Dostaneme

$$6x+4y+3z=12  \  \Longrightarrow  \  z=4-2x-\frac{4}{3}y.$$

Parametrické vyjadrenie plochy $S$ potom bude:

$x=u$,

$y=v$,

$z=4-2u-\frac{4}{3}v$; $\ [u;v]\in G$,

kde $G$ je priemet plochy $S$ do roviny $R_{xy}$.

Vo vektorovom tvare

$S:   \vec{r}=u\cdot\vec{i}+v\cdot\vec{j}+(4-2u-\frac{4}{3}v)\vec{k}; \   [u,v]\in G$.

V rovine $R_{xy}$ je oblasť $G$ ohraničená priamkami:

$6x+4y=12 \ \Longrightarrow \ y=3-\frac{3}{2}x$, $\ x=0$, $\ y=0$.

Preto jej popis je nasledovný:

$0\leq x \leq 2$,

$0\leq y \leq 3-\frac{3}{2} x$

Odtiaľ dostaneme finálne parametrické vyjadrenie plochy $S$:

$x=u$,

$y=v$,

$z=4-2u-\frac{4}{3}v$; $\ 0\leq u \leq 2$, $\ 0\leq v \leq 3-\frac{3}{2} u$.

Plošný integrál 

Parametrizácia plochy

Príklad 2.: Nájdite parametrizáciu valcovej plochy $P$ určenej rovnicou

$$x^{2}+y^{2}=1; \ 0\leq z \leq 1.$$

Riešenie: Priemetom valcovej plochy

$$(x-m)^{2}+(y-n)^{2}=r^{2}, \ \ a\leq z \leq b.$$ 

do roviny $R_{xy}$ je kružnica.

Pri transformácii využijeme polárne súradnice:

$x=\rho\cdot\cos(\varphi)$,

$y=\rho\cdot\sin(\varphi)$ pre $S=[0;0]$.
Respektíve

$x=m + \rho\cdot\cos(\varphi)$,

$y=n + \rho\cdot\sin(\varphi)$ pre $S=[m;n]$, kde $\rho>0$, $0\leq\varphi\leq 2\pi$.

Parametrizácia valcovej plochy sa potom dá získať v tvare:

$x=m + \rho\cdot\cos(u)$,

$y=n + \rho\cdot\sin(u)$,

$z=v$; $\ 0\leq u\leq 2\pi$, $\ a\leq v \leq b$.

Pre $S=[0; 0]$ parametrické vyjadrenie plochy $P$ bude

$x=\cos(u)$,

$y=\sin(u)$,

$z=v$; $\ 0\leq u\leq 2\pi$, $\ 0\leq v \leq 1.$

Plošný integrál 

Plošný integrál prvého druhu 

Príklad 3.: Vypočítajte hmotnosť guľovej polškrupinky $S$: $x^2+y^2+z^2=16$; $z\geq 0$, ak jej plošná hustota $h=h(x,y,z)$ je daná vzťahom $$h(x,y,z)=\sqrt{x^2+y^2}.$$

Riešenie: Nakoľko plocha $S$ je časťou guľovej plochy, parametrizujeme ju využitím sférických súradníc.

$x=r\cos\varphi\cos\theta,$

$y=r\sin\varphi\cos\theta,$

$z=r\sin\theta;$ $\ r > 0$, $\ 0\leq\varphi\leq 2\pi$, $\ \frac{-\pi}{2}\leq\theta\leq \frac{\pi}{2}$.

Parametrizácia plochy $S$ je nasledovná:

$x=4\cos u\cos v,$

$y=4\sin u\cos v,$

$z=4\sin v;$ $\ 0\leq u\leq 2\pi$, $\ 0\leq v\leq \frac{\pi}{2}$.

Vo vektorovom tvare

$S$: $\vec{r}=(4\cos u\cos v, 4\sin u\cos v, 4\sin v)$; $[u; v]\in\langle 0; 2\pi\rangle \times \langle 0; \frac{\pi}{2} \rangle .$

Plošný integrál prvého druhu vypočítame podľa vzťahu:

$$\int\int_S{f(x,y,z) \ \mathrm{d}S} =\int\int_G{f(\vec{r}(u,v))\cdot|\vec{r}_u'(u,v)\times\vec{r}_v'(u,v)| \ \mathrm{d}u \ \mathrm{d}v}.$$

Predpripravíme si elementy podintegrálnej funkcie na pravej strane vzorca.

$\vec{r}'_u=(4(-\sin u)\cos v, 4\cos u\cos v, 0)$

$\vec{r}'_v=(4\cos u (-\sin v), 4\sin u (-\sin v), 4\cos v)$

$\vec{r}'_u \times \vec{r}'_v=\vec{w}=(w_1; w_2; w_3),$ kde

$$w_1=(4\cos u \cos v)(4\cos v) - 0(-4\sin u \sin v)=16\cos u\cos^2 v,$$

$$w_2=0(-4 \cos u \sin v)-(4 \cos v)(-4 \sin u \cos v)=16 \sin u \cos^2 v,$$

$$w_3=(-4 \sin u \cos v)(-4 \sin u \sin v)-(-4\cos u \sin v)(4 \cos u \cos v)$$

$$=16\sin^2 u\cos v \sin v+16 \cos^2 u \cos v \sin v$$

$$=16 \cos v \sin v (\underbrace{\sin^2 u+\cos^2 u})_1 = 16 \cos v \sin v.$$

$$|\vec{r}'_u \times \vec{r}'_v|=|\vec{w}|=|(w_1; w_2; w_3)|$$

$$=\sqrt{(w_1)^2+(w_2)^2+(w_3)^2}$$

$$=\sqrt{(16\cos u\cos^2 v)^2+(16 \sin u \cos^2 v)^2+(16 \cos v \sin v)^2}$$

$$=\sqrt{16^2\cos^2 u\cos^4 v+16^2 \sin^2 u \cos^4 v+16^2 \cos^2 v \sin^2 v}$$

$$=\sqrt{16^2\cos^4 v(\underbrace{\cos^2 u + \sin^2 u}_1)+16^2 \cos^2 v \sin^2 v}$$

$$=\sqrt{16^2\cos^4 v +16^2 \cos^2 v \sin^2 v}=\sqrt{16^2\cos^2 v \cos^2 v +16^2 \cos^2 v \sin^2 v}$$

$$=\sqrt{16^2\cos^2 v (\underbrace{\cos^2 v +\sin^2 v}_1)}=\sqrt{16^2\cos^2 v}=16\cos v .$$

$$h(x,y,z)=\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{(4\cos u\cos v)^2+(4\sin u\cos v)^2}$$

$$=\sqrt{16\cos^2 u\cos^2 v + 16\sin^2 u\cos^2 v}$$

$$=\sqrt{16\cos^2 v (\underbrace{\cos^2 u+ \sin^2 u}_1)}=\sqrt{16\cos^2 v} = 4 \cos v .$$

Vyjadrené dosadíme do vzťahu pre hmotnosť plochy $S$:

$$m=\int\int_S{h(x,y,z) \ \mathrm{d}S}.$$

Dostaneme

$$m=\int_0^{2\pi} \int_0^{\frac{\pi}{2}} h(x(u,v),y(u,v),z(u,v)) |\vec{r}'_u \times \vec{r}'_v| \ \mathrm{d}v \ \mathrm{d}u $$

$$=\int_0^{2\pi} \int_0^{\frac{\pi}{2}} (4 \cos v)(16\cos v) \ \mathrm{d}v \ \mathrm{d}u $$

$$= \int_0^{2\pi} \int_0^{\frac{\pi}{2}} 64 \cos^2 v \ \mathrm{d}v \ \mathrm{d}u $$

$$= 64 \int_0^{2\pi} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{1+\cos 2 v}{2} \ \mathrm{d}v \ \mathrm{d}u$$

$$=64 \int_0^{2\pi} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cos 2 v \right) \ \mathrm{d}v \ \mathrm{d}u$$

$$= 64 \int_0^{2\pi} \left[\frac{1}{2} v+\frac{1}{4}\sin 2 v \right]_0^{\frac{\pi}{2}} \ \mathrm{d}u$$

$$= 64 \int_0^{2\pi} \left[\left(\frac{1}{2}\frac{\pi}{2}+\frac{1}{4}\sin \left(2 \cdot \frac{\pi}{2}\right)\right)-\left(\frac{1}{2}\cdot 0+\frac{1}{4}\sin (2\cdot 0) \right) \right] \ \mathrm{d}u$$

$$= 64 \int_0^{2\pi} \left[\left(\frac{\pi}{4}+\frac{1}{4}\underbrace{\sin \pi}_0\right)-\underbrace{\left(0+\frac{1}{4}\sin 0\right)}_0 \right] \ \mathrm{d}u$$

$$= 64 \int_0^{2\pi} \frac{\pi}{4} \ \mathrm{d}u =64\frac{\pi}{4} \int_0^{2\pi} 1 \ \mathrm{d}u=64\frac{\pi}{4} \left[u\right]_0^{2\pi} ==16\pi (2\pi-0)=32 \pi^2. $$

Záver: Hmotnosť guľovej polškrupinky je $32 \pi^2$ hmotnostných jednotiek.

Krivkový integrál

Parametrizácia krivky 

Príklad 1: Parametrizujte úsečku s krajnými bodmi $A=[3; 1]$, $B=[4; 7]$.

Riešenie:

Smerový vektor $\vec{s}$ úsečky $AB$ je $\vec{s}=[4; 7]-[3; 1]=(1; 6)$.

Parametrické vyjadrenie úsečky $AB$ hľadáme v tvare

$$X=A+t\cdot \vec{s}.$$

V zložkovom tvare preto máme

$x=3+1t,$

$y=1+6t;$ $t\in\langle 0; 1\rangle.$

Krivkový integrál 

Parametrizácia krivky 

Príklad 2: Parametrizujte kružnicu ktorá je v 3D daná rovnicami:

$$x^2+y^2+z^2=4^2$$

$$y=x\cdot \mathrm{tg} \alpha,$$

kde $0<\alpha<\frac{\pi}{2}$.

Kružnicu premietneme do roviny $R_{yz}$. Vyjadríme $x$:

$$x=\frac{y}{\mathrm{tg}\alpha}.$$

Dosadíme do predchádzajúcej rovnice.

$$\left(\frac{y}{\mathrm{tg}\alpha}\right)^2+y^2+z^2=4^2$$

$$\frac{y^2 \cos^2\alpha}{\sin^2\alpha}+\frac{y^2\sin^2\alpha}{\sin^2\alpha}+z^2=4^2$$

$$\frac{y^2(\cos^2\alpha+\sin^2\alpha)}{\sin^2\alpha}+z^2=4^2$$

$$\left(\frac{y}{\sin{\alpha}}\right)^{2}+z^{2}=4^{2}.$$

$$ \frac{y^2}{4^{2}\sin^{2}{\alpha}}+\frac{z^{2}}{4^{2}}=1.$$

V polárnych súradniciach v rovine $R_{yz}$ preto máme:

$y=4 \sin{\alpha}\cos{t}$

$z=4 \sin{t}$; $\quad t\in\langle 0;2\pi\rangle$.

Keďže $x=\frac{y}{\mathrm{tg}\alpha},$ máme

$$x=\frac{y}{\mathrm{tg}\alpha}=\frac{4 \sin{\alpha}\cos{t}}{\mathrm{tg}\alpha}=\frac{\frac{4 \sin{\alpha}\cos{t}}{1}}{\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}}=4\cos{\alpha}\cos{t}.$$

Hľadané parametrické vyjadrenie kružnice je:

$x=4 \cos{\alpha} \cos{t}$

$y=4 \sin{\alpha} \cos{t}$

$z=4 \sin{t}$; $\quad t\in\langle 0; 2\pi\rangle$.

Krivkový integrál 

Krivkový integrál prvého druhu 

Príklad 3: Vypočítajte krivkový integrál $\int_K\sqrt{2y} \ \mathrm{d}s$, ak $K$ je krivka s parametrickým vyjadrením: $x=a(t-\sin t)$, $y=a(1-\cos t)$; $t\in\langle 0; 2\pi\rangle$. 

Riešenie: Keďže krivkový integrál 1. druhu možno vypočítať pomocou vzťahu 
$$\int_K f(x,y)\ \mathrm{d}s=\int^{\beta}_{\alpha}f\left(x(t),y(t)\right)\cdot\sqrt{(x^{\prime}(t))^2+(y^{\prime}(t))^2}\ \mathrm{d}t$$
ako jednoduchý integrál, predpripravíme si niektoré elementy jeho podintegrálnej funkcie:
$(x(t))^{\prime}=(a (t-\sin t))^{\prime}=a (1-\cos t)$
   $\Longrightarrow(x^{\prime}(t))^2=a^2(1-\cos t)^2=a^2(1-2\cos t+\cos^2 t),$
$(y(t))^{\prime}=(a (1-\cos t))^{\prime}=a (0+\sin t)=a \sin t$
   $\Longrightarrow(y^{\prime}(t))^2=a^2\sin^2 t.$
Teda
$$\int_K f(x,y)\ \mathrm{d}s$$
$$=\int^{2\pi}_0\sqrt{2  a (1-\cos t)} \sqrt{a^2(1-2\cos t+\cos^2 t)+a^2\sin^2 t}\ \mathrm{d}t$$ 
$$=\int^{2\pi}_0\sqrt{2}\sqrt{a}\sqrt{1-\cos t} \sqrt{a^2(1-2\cos t+(\underbrace{\cos^2 t+\sin^2 t}_1))}\ \mathrm{d}t$$
$$=\int^{2\pi}_0\sqrt{2} \sqrt{a} \sqrt{1-\cos t} \sqrt{a^2(2-2\cos t)}\ \mathrm{d}t$$
$$=\int^{2\pi}_0\sqrt{2} \sqrt{a}\sqrt{1-\cos t}\sqrt{a^2} \sqrt{2} \sqrt{1-\cos t}\ \mathrm{d}t$$
$$=\int^{2\pi}_02  a^{\frac{3}{2}} (1-\cos t)\ \mathrm{d}t=2a^{\frac{3}{2}}\int^{2\pi}_0(1-\cos t)\ \mathrm{d}t$$
$$=2a^{\frac{3}{2}}\left[t-\sin t\right]_0^{2\pi}=2a^{\frac{3}{2}}\left[(2\pi-\sin {2\pi})-(0-\sin 0)\right]=4\pi a^{\frac{3}{2}}.$$

Záver:
$$\int_K\sqrt{2y}\ \mathrm{d}s=4\pi a^{\frac{3}{2}}.$$

Postupnosti 

Príklad 1: Vyšetrite monotónnosť postupnosti $$\{a_n\}_{n=1}^{\infty}=\left\{\frac{3-4n}{n}\right\}_{n=1}^{\infty}.$$

Riešenie: Napíšeme niekoľko prvých členov uvedenej postupnosti

$a_1=\frac{3-4\cdot 1}{1}=-1,$
$a_2=\frac{3-4\cdot 2}{2}=\frac{-5}{2},$
$a_3=\frac{3-4\cdot 3}{3}=-3,$
$a_4=\frac{3-4\cdot 4}{4}=\frac{-13}{4},$
$a_5=\frac{3-4\cdot 5}{5}=\frac{-17}{5}, \dots$

Zdá sa, že postupnosť je klesajúca. Teda, že pre každé $n\in\mathbb{N}$ platí:
$$\frac{3-4n}{n}> \frac{3-4(n+1)}{(n+1)}.$$
Nakoľko $n\in\mathbb{N}$, teda $n+1>n>0$, hore uvedenú nerovnicu môžeme prenásobiť výrazom $n(n+1)$ a znamienko nerovnosti sa nezmení. Postupne dostaneme:
$$(3-4n)\cdot(n+1) > (3-4n-4)\cdot n,$$
$$3n-4n^2+3-4n > -4n^2-1n,$$
$$-4n^2-n+3 > -4n^2-n,$$
$$3 > 0,$$
čo platí pre každé $n\in\mathbb{N}$.

Preto náš predpoklad bol správny a postupnosť je naozaj klesajúca.

Integrovanie funkcie viacerých reálnych premenných 

Dvojný integrál 

Popis oblasti 

Príklad 1:  Rozhodnite, či oblasť $A$ ohraničená priamkami $y=2$, $y=x+3$, $x=4$ je elementárnou oblasťou typu $[x,y]$, prípadne $[y,x]$. Ak áno, popíšte ju. 

Riešenie: Oblasť $A$ si načrtneme.

Z obrázka vidno, že ju možno popísať aj ako elementárnu oblasť typu $[x,y]$, ale aj  $[y,x]$.

Popis oblasti $A$ ako elementárnej oblasti typu $[x,y]$ je nasledovný:
$$a=-1\leq x\leq 4=b,$$
$$\varphi(x)=2\leq y \leq x+3=\phi(x).$$ 

Odvodiť popis oblasti $A$ ako elementárnej oblasti typu $[y,x]$ je len o trochu zložitejšie.
Dolné ohraničenie pre $y$-ové súradnice bodov z oblasti $A$ dáva priamka $y=2$.
Horné ohraničenie dáva sústava rovníc
$$y=x+3,$$
$$x=4,$$
odkiaľ dostávame:
$$y=4+3=7.$$ 
Dolné ohraničenie pre $x$-ové súradnice bodov z oblasti $A$ získame z rovnice priamky
$$y=x+3 \Leftrightarrow x=y-3.$$ 
Horné ohraničenie pre hodnoty $x$-ových súradníc dáva priamka $x=4$.

Popis oblasti $A$ ako elementárnej oblasti typu $[y,x]$ je potom:
$$2\leq y\leq 7,$$
$$y-3\leq x \leq 4.$$

Integrovanie funkcie viacerých reálnych premenných 

Dvojný integrál 

Popis oblasti 

Príklad 2:  Rozhodnite, či oblasť $M$ tvaru konvexného štvoruholníka s vrcholmi $[1; 1]$, $[3; 1]$, $[2; 2]$ a $[1; 2]$  je elementárnou oblasťou typu $[x,y]$, prípadne $[y,x]$. Ak áno, popíšte ju. 

Riešenie: Oblasť $M$ si načrtneme.

Z obrázka vidno, že pre $x\in\langle 1; 2\rangle$ sú $y$-nové súradnice bodov z oblasti  $M$ z intervalu $\langle 1; 2\rangle$, pre $x\in\langle 2; 3\rangle$ je ohraničenie pre $y$-nové súradnice bodov oblasti $M$ iné.
Oblasť $M$ preto nemožno popísať ako elementárnu oblasť typu $[x,y]$.

Možno ju však popísať ako elementárnu oblasť typu $[y,x]$.
Horné a dolné ohraničenie pre $y$-nové súradnice bodov oblasti $M$ dávajú priamky $y=1$ a $y=2$.
Dolné ohraničenie pre $x$-ové súradnice bodov oblasti $M$ dáva priamka $x=1$.
Horné ohraničenie pre $x$-ové súradnice bodov oblasti $M$ dáva priamka $p$ prechádzajúca bodmi $[3; 1]$ a $[2; 2]$, ktorej smerový vektor je $\vec{s}=[2; 2]-[3; 1]=(-1; 1)$, normálový vektor $\vec{n}=(1; 1)$. Jej všeobecnú rovnicu získame z tvaru $ax+by+c=0$ pre $(a; b)=\vec{n}=(1; 1)$ a konštantu $c$ určíme z rovnice $1x_0+1y_0+c=0$ pre $[x_0; y_0]=[2; 2]$. Všeobecná rovnica priamky $p$ je teda $1x+1y-4=0$, odkiaľ $x=4-y$.

Popis oblasti $M$ ako elementárnej oblasti typu $[y,x]$ je potom:
$$1\leq y\leq 2,$$
$$1\leq x \leq 4-y.$$

Integrovanie funkcie viacerých reálnych premenných 

Dvojný integrál 

Príklad 1: Vypočítajte
$$\int_0^1\int_0^{x^2} 1 \ \mathrm{d}y \ \mathrm{d}x$$

Riešenie: 
$$\int_0^1\int_0^{x^2} 1 \ \mathrm{d}y \ \mathrm{d}x = \int_0^1 \left[ y\right]_0^{x^2} \ \mathrm{d}x = \int_0^1 \left(x^2 - 0 \right) \ \mathrm{d}x = \left[\frac{x^{3}}{3}\right]_0^1=\frac{1^{3}}{3}-\frac{0^{3}}{3}=\frac{1}{3}.$$

Integrovanie funkcie viacerých reálnych premenných 

Dvojný integrál  

Príklad 2: Pomocou vhodnej transformácie určte
$$\iint_M (x^2+y^2) \ \mathrm{d} M, $$
ak M je oblasť určená nerovnicami $x^2+y^2\leq 4$, $y\geq-x$, $y\geq0.$

Riešenie: Oblasť $M$ predstavuje výsek z kruhu $x^2+y^2\leq 4$.
Popíšeme si ju pomocou transformácie do polárnych súradníc:
$x=\rho\cos\varphi$, $y=\rho\sin\varphi$ pre $0\leq\rho\leq 2$, $0\leq\varphi\leq\frac{3\pi}{4}$.
Hodnota Jakobiánu je $|{\cal{J}}|=\rho$.

Príslušný integrál vypočítame nasledovne:
$$\iint_M (x^2+y^2) \ \mathrm{d}M=\int^2_0\int^\frac{3\pi}{4}_0 (\rho^2\cos^2\varphi+\rho^2\sin^2\varphi)\rho \ \mathrm{d}\varphi \ \mathrm{d}\rho$$
$$=\int^2_0\int^\frac{3\pi}{4}_0\rho^2\underbrace{(\cos^2\varphi+ \sin^2\varphi)}_1\rho \ \mathrm{d}\varphi \ \mathrm{d}\rho$$
$$=\int^2_0\int^\frac{3\pi}{4}_0\rho^3 \ \mathrm{d}\varphi \ \mathrm{d}\rho=\int^2_0 \rho^3 \int^\frac{3\pi}{4}_0 1 \ \mathrm{d}\varphi \ \mathrm{d}\rho$$
$$=\int^2_0 \rho^3  \left[\varphi\right]^\frac{3\pi}{4}_0 \ \mathrm{d}\rho=\int^2_0  \rho^3 \left[\frac{3\pi}{4} - 0\right] \mathrm{d}\rho$$
$$=\frac{3\pi}{4} \int^2_0 \rho^3 \ \mathrm{d}\rho  =\frac{3\pi}{4}\left[\frac{\rho^4}{4}\right]^2_0=\frac{3\pi}{4}\left[\frac{2^4}{4} -\frac{0^4}{4}\right] = 3\pi.$$

Integrovanie funkcie viacerých reálnych premenných 

Dvojný integrál 

Trojný integrál 

Príklad 3: Vypočítajte objem telesa ohraničeného plochami
$y=\sqrt{x}$, $y=2\sqrt{x}$, $x+z=4$, $z=0$.

Riešenie: Objem tohto telesa môžeme vypočítať podľa vzťahu
$$v=\iiint_{A} 1  \ \mathrm{d}x \ \mathrm{d}y \ \mathrm{d}z,$$
kde A je popísaná nerovnosťami
$$0\leq x\leq 4, \quad
\sqrt{x}\leq y \leq 2 \sqrt{x}, \quad
0\leq z \leq 4-x,$$
alebo podľa vzťahu
$$v=\iint_{M} (f(x,y)-q(x,y)) \ \mathrm{d}x \ \mathrm{d}y,$$
kde M je popísaná nerovnosťami
$$0\leq  x \leq 4, \quad
\sqrt{x}\leq y \leq 2 \sqrt{x}, \quad $$
pričom $f(x,y)=4-x$   a   $g(x,y)=0$. 

Obe možnosti, prirodzeme, sú správne. Vedú k identickému výsledku. 

$$V=\int^{4}_{0}\int^{2\sqrt{x}}_{\sqrt{x}} \int^{4-x}_{0}1 \ \mathrm{d}z \ \mathrm{d}y \ \mathrm{d}x = \int^{4}_{0}\int^{2\sqrt{x}}_{\sqrt{x}}\left[z\right]^{4-x}_{0} \ \mathrm{d}y\ \mathrm{d}x$$
$$=\int^{4}_{0}\int^{2\sqrt{x}}_{\sqrt{x}}((4-x)-0)\ \mathrm{d}y\  \mathrm{d}x=\int^{4}_{0}\int^{2\sqrt{x}}_{\sqrt{x}} (4-x) \  \mathrm{d}y \ \mathrm{d}x$$
$$=\int^{4}_{0}\left[4y-xy\right]^{2\sqrt{x}}_{\sqrt{x}} \ \mathrm{d}x=
\int^{4}_{0} (4(2\sqrt{x})-x(2\sqrt{x}))-(4 \sqrt{x}-x\sqrt{x}) \ \mathrm{d}x$$
$$=\int^{4}_{0}\left(8 x^{\frac{1}{2}}-2  x^{\frac{3}{2}}-4  x^{\frac{1}{2}}+x^{\frac{3}{2}} \right) \ \mathrm{d}x=\int^{4}_{0} \left(4 x^{\frac{1}{2}}-x^{\frac{3}{2}}\right) \ \mathrm{d}x = \left[4\frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}-\frac{x^{\frac{5}{2}}}{\frac{5}{2}}\right]^{4}_{0}$$
$$=\left(4  \frac{2}{3}   (\sqrt{4})^{3}-\frac{2}{5} (\sqrt{4})^{5}\right) -(0-0)=\frac{8}{3}\cdot 8-\dfrac{2}{5}\cdot 32 =\frac{64}{3}-\frac{64}{5}=\frac{128}{15}.$$ 

$$V=\int^{4}_{0}\int^{2\sqrt{x}}_{\sqrt{x}}((4-x)-0)\ \mathrm{d}y\  \mathrm{d}x=\int^{4}_{0}\int^{2\sqrt{x}}_{\sqrt{x}} (4-x) \  \mathrm{d}y \ \mathrm{d}x$$
$$=\int^{4}_{0}\left[4y-xy\right]^{2\sqrt{x}}_{\sqrt{x}} \ \mathrm{d}x=
\int^{4}_{0} (4(2\sqrt{x})-x(2\sqrt{x}))-(4 \sqrt{x}-x\sqrt{x}) \ \mathrm{d}x$$
$$=\int^{4}_{0}\left(8 x^{\frac{1}{2}}-2  x^{\frac{3}{2}}-4  x^{\frac{1}{2}}+x^{\frac{3}{2}} \right) \ \mathrm{d}x=\int^{4}_{0} \left(4 x^{\frac{1}{2}}-x^{\frac{3}{2}}\right) \ \mathrm{d}x = \left[4\frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}-\frac{x^{\frac{5}{2}}}{\frac{5}{2}}\right]^{4}_{0}$$
$$=\left(4  \frac{2}{3}   (\sqrt{4})^{3}-\frac{2}{5} (\sqrt{4})^{5}\right) -(0-0)=\frac{8}{3}\cdot 8-\dfrac{2}{5}\cdot 32 =\frac{64}{3}-\frac{64}{5}=\frac{128}{15}.$$

Objem telesa je $\dfrac{128}{15}$ jednotiek kubických.

Integrovanie funkcie viacerých reálnych premenných 

Trojný integrál 

Príklad 4: Vypočítajte
$$\int_0^2\int_0^{2\pi}\int_{\frac{\rho^2}{2}}^2\rho^3 \ \mathrm{d}u \ \mathrm{d}\varphi \ \mathrm{d}\rho$$

Riešenie:
$$\int_0^2 \int_0^{2\pi} \int_{\frac{\rho^2}{2}}^2 \rho^3 \ \mathrm{d}u\ \mathrm{d}\varphi \ \mathrm{d}\rho$$
$$=\int_0^2\int_0^{2\pi}\rho^3\int_{\frac{\rho^2}{2}}^2 1 \ \mathrm{d}u\ \mathrm{d}\varphi \ \mathrm{d}\rho=\int_0^2\int_0^{2\pi}\rho^3\big[u\big]_{\frac{\rho^2}{2}}^2 \ \mathrm{d}\varphi \ \mathrm{d}\rho$$
$$=\int_0^2\int_0^{2\pi}\rho^3\left[2-\frac{\rho^2}{2}\right]\mathrm{d}\varphi\ \mathrm{d}\rho=  \int_0^2\int_0^{2\pi} \left(2\rho^3-\frac{\rho^5}{2}\right)\mathrm{d}\varphi \ \mathrm{d}\rho$$
$$=\int_0^2\left[2\rho^3\varphi-\frac{\rho^5}{2}\varphi\right]_0^{2\pi}\mathrm{d}\rho=\int_0^2\left(\left(2\rho^{3}2\pi-\frac{\rho^5}{2}2\pi\right)-\left(2\rho^{3}0-\frac{\rho^5}{2}0\right)\right) \mathrm{d}\rho$$
$$=\int_0^2 \left(4\pi\rho^3-\pi\rho^5\right) \mathrm{d}\rho=  \left[4\pi\frac{\rho^4}{4}-\pi\frac{\rho^6}{6}\right]_0^2$$
$$=\left(4\pi\frac{2^4}{4}-\pi\frac{2^6}{6}\right)-\left(4\pi\frac{0^4}{4}-\pi\frac{0^6}{6}\right)=16\pi-\frac{32}{3}\pi=\frac{16}{3}\pi.$$

Integrovanie funkcie viacerých reálnych premenných 

Trojný integrál  

 

Príklad 5: Vypočítajte
$$\int_0^4\int_{\sqrt{u}}^{2\sqrt{u}}\int_0^{4-u}1 \ \mathrm{d}\varphi \ \mathrm{d}\rho \ \mathrm{d}u. $$

Riešenie:
$$\int_0^4\int_{\sqrt{u}}^{2\sqrt{u}}\int_0^{4-u}1 \ \mathrm{d}\varphi\ \mathrm{d}\rho \ \mathrm{d}u=\int_0^4\int_{\sqrt{u}}^{2\sqrt{u}}\big[\varphi\big]_0^{4-u} \ \mathrm{d}\rho \ \mathrm{d}u$$
$$=\int_0^4\int_{\sqrt{u}}^{2\sqrt{u}}((4-u)-0) \ \mathrm{d}\rho \ \mathrm{d}u=\int_0^4 \big[4\rho-u\rho\big]_{\sqrt{u}}^{2\sqrt{u}} \ \mathrm{d}u$$
$$=  \int_0^4\big(4(2\sqrt{u})-u(2\sqrt{u})\big)-(4\sqrt{u}-u\sqrt{u}) \ \mathrm{d}u $$
$$=\int_0^{4} \left(8u^{\frac{1}{2}}-2u^{\frac{3}{2}}-4u^{\frac{1}{2}}+u^{\frac{3}{2}}\right) \ \mathrm{d}u=\int_0^{4} \left(4u^{\frac{1}{2}}-1u^{\frac{3}{2}}\right) \ \mathrm{d}u=\left[4\frac{u^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}-\frac{u^{\frac{5}{2}}}{\frac{5}{2}}\right]_0^4$$
$$= \left[\frac{8}{3}u^{\frac{3}{2}}-\frac{2}{5}u^{\frac{5}{2}}\right]_0^4=\left[\left(\frac{8}{3}4^{\frac{3}{2}}-\frac{2}{5}4^{\frac{5}{2}}\right)-\left(\frac{8}{3}0^{\frac{3}{2}}-\frac{2}{5}0^{\frac{5}{2}}\right)\right]$$
$$=\frac{8}{3}(\sqrt{4})^3-\frac{2}{5}(\sqrt{4})^5=\frac{8}{3}8-\frac{2}{5}32=\frac{64}{3}-\frac{64}{5}=\frac{5.64-3.64}{15}=\frac{128}{15}.$$

Integrovanie funkcie viacerých reálnych premenných  

Dvojný integrál 

Príklad 6: Vypočítajte

$$\int_1^2 \int_1^3 x^{2}ye^{xy} \ \mathrm{d}y \ \mathrm{d}x.$$

Riešenie: Pri výpočte využijeme metódu per partes. 
$$\int_1^2 \int_1^3 x^{2}ye^{xy} \ \mathrm{d}y \ \mathrm{d}x$$

$$=\int_1^2 x^{2}\left(\left[y \frac{1}{x} e^{xy}\right]_1^3 -\int_1^3 \frac{1}{x}e^{xy} \ \mathrm{d}y \right) \ \mathrm{d}x$$

$$=\int_1^2 x^{2} \left(\left[3 \frac{1}{x}e^{3x}- 1 \frac{1}{x}e^{1x}\right]-\frac{1}{x}\left[\frac{1}{x}e^{xy}\right]_1^3\right) \ \mathrm{d}x $$

$$=\int_1^2 x^{2}\left(3x^{-1} e^{3x}-x^{-1} e^{x}-\frac{1}{x}\left[\frac{1}{x}e^{3x}-\frac{1}{x}e^{x}\right]\right)\mathrm{d}x$$

$$=\int_1^2 \left(3xe^{3x}-x e^{x}-e^{3x}+e^{x}\right) \ \mathrm{d}x$$

$$=\int_1^2 3xe^{3x} \ \mathrm{d}x-\int_1^2 xe^{x} \ \mathrm{d}x-\int_1^2 e^{3x}+\int_1^2 e^{x} \ \mathrm{d}x=\star$$

Prvé dva integrály zrátame metódou per partes, ďalší je možné vyriešiť  odhadom alebo substitučnou metódou, posledný podľa vzorca.

$$\int_1^2 3xe^{3x} \ \mathrm{d}x$$

$$=\left[3x \frac{1}{3}e^{3x}\right]_1^2 -\int_1^2 3 \frac{1}{3}e^{3x} \ \mathrm{d}x$$

$$=2e^{6}-e^{3}-\left[\frac{1}{3}e^{6}-\frac{1}{3}e^{3}\right]$$

$$=\frac{6e^{6}-3e^{3}-e^{6}+e^{3}}{3}=\frac{5e^{6}-2e^{3}}{3}.$$  

$$\int_1^2 xe^{x} \ \mathrm{d}x$$

$$=\left[x e^{x}\right]_1^2 -\int_1^2 e^{x} \ \mathrm{d}x$$

$$=2e^{2}-e-\left[e^{2}-e^{1}\right]=2e^{2}-e-e^{2}+e=e^{2}.$$ 
 

Preto

$$\star=\frac{5}{3}e^{6}-\frac{2}{3}e^{3}-e^{2}-\left[\frac{1}{3}e^{3x}\right]_1^2 + \left[e^{x}\right]_1^2$$

$$=\frac{5}{3}e^{6}-\frac{2}{3}e^{3}-e^{2}-\left[\frac{1}{3}e^{6}-\frac{1}{3}e^{3}\right]+\left[e^{2}-e^{1}\right]=\frac{4}{3}e^{6}-\frac{1}{3}e^{3}-e.$$

Rady

Číselné rady 

Príklad 1: Pomocou postupnosti čiastočných súčtov vypočítajte súčet radu
$$\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{3}{(n+1)(n+2)}$$
a určte, či daný rad konverguje, alebo diverguje.

Riešenie: Využijeme rozklad výrazu $\frac{3}{(n+1)(n+2)}$ na parciálne zlomky.
$$\frac{3}{(n+1)(n+2)}=\frac{A}{n+1}+\frac{B}{n+2}$$
$$3=A(n+2)+B(n+1)$$
$$0n+3=An+2A+Bn+B$$
$$0n+3=(A+B)n+(2A+B)$$
Odtiaľ 
$0=A+B \qquad \ \Rightarrow A=-B$ 
$3=2A+B \qquad \Rightarrow 3=-2B+B \qquad \Rightarrow B=-3 \qquad \Rightarrow A=3$
Následne dostaneme:
$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{3}{(n+1)(n+2)} =\sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{3}{n+1}+ \frac{-3}{n+2)}\right).$$
Pomocou vyjadrenia niekoľkých prvých členov postupnosti čiastočných súčtov odvodíme vzťah pre $n$-tý člen tejto postupnosti.

$s_1=a_1=\frac{3}{1+1}+\frac{-3}{1+2}=\frac{3}{2}+\frac{-3}{3}$ 
$s_2=a_1 + a_2 =\frac{3}{2}+\frac{-3}{3} + \frac{3}{2+1}+\frac{-3}{2+2}=\frac{3}{2}+\frac{-3}{3}+\frac{3}{3}+\frac{-3}{4}=\frac{3}{2}+\frac{-3}{4}$ 
$s_3=a_1 + a_2 + a_3=\dots=\frac{3}{2}+\frac{-3}{4}+\frac{3}{4}+\frac{-3}{5} = \frac{3}{2}+\frac{-3}{5}$ 
$\vdots$ 
$s_n=a_1 + a_2 + \dots + a_n=\dots=\frac{3}{2}+\frac{-3}{n+2}$

Zrátaním $\lim\limits_{n\to\infty} s_n$ dostaneme požadovaný súčet radu: 
$$s=\lim_{n\to\infty} s_n=\lim_{n\to\infty}\left( \frac{3}{2}+\frac{-3}{n+2}\right)= \lim_{n\to\infty} \frac{3}{2} + \lim_{n\to\infty} \frac{-3}{n+2}= \frac{3}{2}+0 = \frac{3}{2}.$$
Súčet radu ($s=\frac{3}{2}$) je vyjadrený konečným číslom, rad konverguje.

Rady

Číselné rady 

Príklad 2: Vyšetrite konvergenciu radu $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} \frac{2^{n}}{3^{n}} \ $ a nájdite jeho súčet.

Riešenie: Keďže podiel dvoch po sebe idúcich členov tohto radu je konštantný,
$$q=\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{(-1)^{n+2} \frac{2^{n+1}}{3^{n+1}}}{(-1)^{n+1} \frac{2^{n}}{3^{n}}}= -\frac{2}{3},$$
jedná sa o geometrický rad. Tento rad je konvergentný, lebo $|-\frac{2}{3}| < 1$. Jeho súčet je
$$s=\frac{(-1)^{2}\cdot\frac{2}{3}}{1-\left(-\frac{2}{3}\right)}= \frac{2}{5}.$$

Rady

Číselné rady 

Príklad 3: Vyšetrite konvergenciu radu $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\sin\frac{3}{n}.$

Riešenie: Využijeme porovnávacie kritérium v limitnom tvare. Položme $a_{n} = \sin \frac{3}{n}$ a $b_{n} = \frac{3}{n}$, čiže porovnávať budeme s násobkom harmonického radu: $$c\cdot\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{n}=\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{3}{n}=\sum\limits_{n=1}^\infty b_n.$$
(Poznamenajme, že harmonický rad je príkladom nekonečného číselného radu, ktorý síce spĺňa nutnú (nie však postačujúcu) podmienku konvergencie radu, menovite, že členy radu $\sum\limits_{n=1}^{\infty} {h_n}=\sum\limits_{n=1}^{\infty} {\frac{1}{n}}$ konvergujú  nule, avšak samotný harmonický rad diverguje. Keďže harmonický rad má nekonečný súčet, aj každý jeho nenulový násobok má nekonečný súčet, preto je taktiež divergentný.)
Vieme, že  $\lim\limits_{k \to \ 0} \frac{\sin k}{k} = 1$. Ak tu označíme $k=\frac{3}{n}$, tak $k\to 0 \Leftrightarrow n \to\infty$. Preto máme
$$\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n}}{b_{n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{\sin{\frac{3}{n}}}{\frac{3}{n}} = 1.$$
Teda $$0 < \lim\limits_{n\to\infty}\frac{a_{n}}{b_{n}} < + \infty.$$
Podľa Porovnávacieho kritéria v limitnom tvare sú obidva rady $\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_{n}$ aj $\sum\limits_{n=1}^{\infty} b_{n}$ buď súčasne konvergentné alebo súčasne divergentné. Keďže harmonický rad je divergentný, aj jeho $c$-náskobok je divergentný, teda aj rad $\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_{n}=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\sin\frac{3}{n}$ je divergentný.

Rady

Číselné rady 

Príklad 4: Vyšetrite konvergenciu radu $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{6}{e^{n}+5}.$

Riešenie:  Využijeme porovnávacie kritérium v nelimitnom tvare. Uvedený rad porovnáme s geometrickým radom $\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{6}{e^{n}}$. Keďže pre jeho kvocient platí
$$|q|=\left|\frac{\frac{6}{e^{n+1}}}{\frac{6}{e^{n}}}\right|=\left|\frac{\frac{6}{e^{n}\cdot e}}{\frac{6}{e^{n}}}\right|=\left|\frac{1}{e}\right|=\frac{1}{e}<1,$$
tento je konvergentný. Ďalej platí:
$$e^n+5>e^n$$
$$\frac{e^n+5}{6}>\frac{e^n}{6}$$
$$\frac{6}{e^n+5}<\frac{6}{e^n}$$
Rad $\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{6}{e^n}$ je konvergentný majorantný rad k radu $\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{6}{e^{n}+5}$. Teda aj rad $\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{6}{e^{n}+5}$ je konvergentný.

Rady

Číselné rady 

Príklad 6: Vyšetrite konvergenciu radu $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{3n}{2n+1}\right)^{n}.$

Riešenie: Využijeme Cauchyho odmocninové kritérium. Určíme
$$\lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{a_n} = \lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{ \left(\frac{3n}{2n+1}\right)^{n}} = \lim_{n\to\infty} \frac{3n}{2n+1} = \frac{3}{2} > 1.$$
Odvodíme záver, že rad diverguje.

Rady

Funkcionálne rady 

Príklad 1: Vyšetrite konvergenciu radu $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(x+2)^{n+1}}{3^{n}(n+1)(n+2)}$.

Riešenie: Využijeme upravené D'Alembertovo kritérium. Vyrátame
$$\lim_{n\to\infty} \left| \frac{f_{n+1}(x)}{f_n(x)} \right| =
\lim_{n\to\infty} \left|\frac{\frac{(x+2)^{n+2}}{3^{n+1}(n+2)(n+3)}}{\frac{(x+2)^{n+1}}{3^{n}(n+1)(n+2)}}\right| = \lim_{n\to\infty} \left|\frac{(x+2)(n+1)}{3(n+3)} \right| = $$
$$= \left|\frac{x+2}{3} \right| \lim_{n\to\infty} \frac{n+1}{n+3} = \left|\frac{x+2}{3} \right| \cdot 1 = \left|\frac{x+2}{3} \right| $$
Tento rad je konvergentný pre
$$\lim_{n\to\infty} \left| \frac{f_{n+1}(x)}{f_n(x)} \right|<1$$
$$\left|\frac{x+2}{3} \right|<1$$
$$-1<\frac{x+2}{3}<1$$
$$-3<x+2<3$$
$$-5<x<1$$
Teda interval konvergencie radu je $(-5;1)$. 
Pre vyšetrenie konvergencie radu v hraničných bodoch intervalu konvergencie využijeme kritéria konvergencie číselných radov. 
Pre $x=-5$ pomocou Leibnitzovho kritéria vyšetríme konvergenciu alternujúceho radu 
$$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-3)^{n+1}}{3^{n}(n+1)(n+2)}.$$
Rad je konvergentný, viď Príklad 8 v časti príkladov venovaných číselným radom. 
Pre $x=1$ vyšetríme konvergenciu radu 
$$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(3)^{n+1}}{3^{n}(n+1)(n+2)} =
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{3}{(n+1)(n+2)}.$$
Rad je konvergentný, lebo jeho súčet je $s=\frac{3}{2}$, viď Príklad 1 v časti príkladov venovaných číselným radom. 
Obor konvergencie funkcionálneho radu $$\displaystyle\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{(x+2)^{n+1}}{3^{n}(n+1)(n+2)}$$ je $$\langle -5;1 \rangle.$$

Rady

Funkcionálne rady 

Príklad 2: Vyšetrite konvergenciu radu $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} (5-x^{2})^{n}$.

Riešenie: Použijeme upravené Cauchyho kritérium. Vyrátame
$$\lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{\left| f(n) \right|}= \lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{\left| (5-x^{2})^{n} \right|} = \left| 5-x^{2} \right| .$$
Tento rad je konvergentný pre $$\lim_{n\to\infty} \left| 5-x^{2} \right|<1,$$ teda $$-1< 5-x^{2}<1,$$  t.j. $$x^{2}\in(4;6).$$
Interval konvergencie radu $$\sum\limits_{n=1}^{\infty} (5-x^{2})^{n}$$ je 
$$(-\sqrt{6};-2)\cup(2;\sqrt{6}).$$
Pre vyšetrenie konvergencie radu v hraničných bodoch intervalu konvergencie využijeme kritéria konvergencie číselných radov. 
Pre $x=\pm \sqrt{6}$ dostaneme divergentný rad
$$\sum\limits_{n=1}^{\infty} (5-(\pm \sqrt{6})^{2})^{n} = \sum\limits_{n=1}^{\infty} (5-6)^{n} = \sum\limits_{n=1}^{\infty} (-1)^{n},$$ lebo neexistuje $\displaystyle\lim_{n\to\infty} a_n$, a teda nie je splnená nutná podmienka konvergencie radu.
Pre $x=\pm 2$ dostaneme taktiež  divergentný rad $$\sum\limits_{n=1}^{\infty} (5-(\pm 2)^{2})^{n} = \sum\limits_{n=1}^{\infty} (5-4)^{n} = \sum\limits_{n=1}^{\infty} (1)^{n},$$ lebo nemá konečný súčet. 
Obor konvergencie radu $$\sum\limits_{n=1}^{\infty} (5-x^{2})^{n}$$ je  $$(-\sqrt{6};-2)\cup(2;\sqrt{6}).$$

Rady

Funkcionálne rady 

Taylorov rozvoj funkcie 
Ak existuje mocninový rad $\sum_{n=0}^{\infty} a_n (x-x_0)^{n}$ so stredom v bode $x_0$ taký, že konverguje v nejakom okolí bodu $x_0$ k funkcii $f(x)$ a ak má funkcia $f(x)$ v bode $x_0$ všetky derivácie, tak ho môžeme v okolí bodu $x_0$ rozvinúť do Taylorovho radu. 

Nech $f(x)$ je $(n+1)$-krát diferencovateľná funkcia v bode $x_0$, definovaná na okolí $\mathcal{O}(x_0)$ bodu $x_0$. Potom platí
$$f(x)=f(x_0)+\frac{f'(x_0)}{1!}(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^{2}+\dots$$ $$\dots+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^{n}+R_{n+1}(x),$$
kde výraz $R_{n+1}(x)$ označuje zvyšok.
Tento vzorec sa nazýva Taylorov vzorec a jeho prvá časť  (časť bez zvyšku) sa nazýva $n$-tý Taylorov polynóm alebo Taylorov aproximačný polynóm funkcie $f(x)$ so stredom v bode $x_0$.

Aby bol polynóm $p(x)$ konečného stupňa $n$ Taylorovým polynómom, musí platiť:
$$\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-p(x)}{(x-x_0)^{n}}=0.$$

Taylorov polynóm využívame pri hľadaní približných hodnôt funkcií. Taylorov rad si najskôr predstavíme ako nekonečný súčet, vypočítame niekoľko prvých členov polynómu a ostatné členy zapíšeme v tvare zvyšku $o(x^{k})$. Chybu výpočtu pri takejto aproximácii odhadneme napríklad pomocou Lagrangeovho tvaru zvyšku:
$$R_{n+1}(x)=\frac{f^{(n+1)}(\zeta)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1},$$
kde pre $x<x_0$ je číslo $\zeta\in(x,x_0)$, pre $x>x_0$ je $\zeta\in(x_0,x)$. 

Rady

Funkcionálne rady 

Príklad 4: Rozviňte funkciu $f(x)=\frac{1}{1+x}$ do Maclaurinovho radu.

Riešenie: Maclaurinov rad je Taylorov rad so stredom $x_0=0$, preto najskôr určíme hodnotu derivácií funkcie $f(x)=\frac{1}{1+x}$ v bode $x_0$.
$f(x_0)=\frac{1}{1+0}=1$. 
$f'(x)=((1+x)^{-1})'=\frac{-1}{(1+x)^2} \quad \Rightarrow \quad f'(x_0)=\frac{-1}{(1+0)^2}=-1$
$f''(x)=(-(1+x)^{-2})'=\frac{2}{(1+x)^3} \quad \Rightarrow \quad f''(x_0)=\frac{2}{(1+0)^3}=2$
$f'''(x)=(2\cdot(1+x)^{-3})'=\frac{-2\cdot 3}{(1+x)^4} \quad \Rightarrow \quad f'''(x_0)=\frac{-2\cdot 3}{(1+0)^4}=-2\cdot 3$ 
Pozorovaním tvaru derivácií v bode $x_0=0$ odvodíme, že $f^{(n)}(x_0)=(-1)^{n}n!$.
Do všeobecného vyjadrenia Taylorovho radu
$$f(x)=f(x_0)+\frac{f'(x_0)}{1!}(x-x_0)^1+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+...+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n...$$
dosadíme získané derivácie v bode $x_0=0$. Dostaneme
$$f(x)=1+\frac{-1}{1!}(x)^1+\frac{2}{2!}(x)^2+\frac{-2\cdot 3}{3!}(x)^3+\dots+\frac{(-1)^{n}n!}{n!}(x)^n\dots$$
$$f(x)=1-x+x^2-x^3+\dots+(-1)^{n}x^n\dots=\sum_{n=0}^\infty (-1)^{n}x^n.$$

Rady

Funkcionálne rady 

Príklad 6: Vypočítajte približnú hodnotu integrálu  $\displaystyle\int\limits_{\frac{1}{8}}^{\frac{1}{4}}9x\ln{(1+3x)} \ \mathrm{d}x .$

Riešenie: V Príklade 5 venovanom problematike funkcionálnych radov sme odvodili rozvoj funkcie $9x\ln{(1+3x)}$ do Maclaurinovho radu:
$$9x\cdot\ln(1+3x)=3^{3}x^2-\frac{3^{4}x^3}{2}+\frac{3^{5}x^{4}}{3}- \dots+\frac{(-1)^{n-1}3^{n+2}x^{n+1}}{n}+\dots$$
Preto
$$\int\limits_{\frac{1}{8}}^{\frac{1}{4}}9x\ln{(1+3x)} \ \mathrm{d}x = \int\limits_{\frac{1}{8}}^{\frac{1}{4}} 3^{3}x^2-\frac{3^{4}x^3}{2}+\frac{3^{5}x^{4}}{3}- \dots+\frac{(-1)^{n-1}3^{n+2}x^{n+1}}{n}+\dots$$
$$=\left[ 3^{2}x^3-\frac{3^{4}x^4}{8}+\frac{3^{5}x^{5}}{15}- \dots+\frac{(-1)^{n-1}3^{n+2}x^{n+2}}{n\cdot(n+2)}+\dots \right]_{\frac{1}{8}}^{\frac{1}{4}}$$
$$\approx \left[ 3^{2}x^3-\frac{3^{4}x^4}{8}+\frac{3^{5}x^{5}}{15}-\frac{3^{6}x^{6}}{24}\right]_{\frac{1}{8}}^{\frac{1}{4}}$$
$$=\left( 3^{2}\left({\frac{1}{4}}\right)^3-\frac{3^{4}\left({\frac{1}{4}}\right)^4}{8}+\frac{3^{5}\left({\frac{1}{4}}\right)^{5}}{15}-\frac{3^{6}\left({\frac{1}{4}}\right)^{6}}{24}\right)+$$
$$-\left( 3^{2}\left({\frac{1}{8}}\right)^3-\frac{3^{4}\left({\frac{1}{8}}\right)^4}{8}+\frac{3^{5}\left({\frac{1}{8}}\right)^{5}}{15}-\frac{3^{6}\left({\frac{1}{8}}\right)^{6}}{24}\right)\doteq 0,094.$$

Rady

Funkcionálne rady 

Príklad 7: Vypočítajte $\displaystyle\lim\limits_{x\to 0}\frac{x-\sin x}{x^{3}}$.

Riešenie: Pomocou Taylorovho rozvoja funkcie sínus ($\sin{(x)} = \sum\limits_{n=0}^{\infty} (-1)^{n}\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$; $x\in\mathbb{R}$) dostaneme
$$\lim_{x\to 0}\frac{x-\sin x}{x^{3}}=\lim_{x\to 0}\frac{x-x+\frac{x^{3}}{3!}+o(x^{3})}{x^{3}}=\lim_{x\to 0}\left(\frac{1}{3!}+\frac{o(x^{3})}{x^{3}}\right)=\frac{1}{6}.$$

Rady

Číselné rady 

Príklad 9: Teleso $T$ sa pohybuje rovnomerne zrýchleným pohybom. V časových intervaloch $\frac{1}{2}$, $\frac{1}{2^2}$, $\frac{1}{2^3}\dots$ sa postupne zväčšuje jeho rýchlosť (vyjadrená v metroch za sekundu) podľa nekonečnej aritmetickej postupnosti $1,2,3\dots$ Určte strednú rýchlosť pohybu telesa $T$. 


Riešenie:  Určiť strednú rýchlosť pohybu telesa znamená určiť súčet vzniklejšieho radu $$1\cdot\frac{1}{2}+2\cdot\frac{1}{2^2}+3\cdot\frac{1}{2^3}+\dots$$ Vzťah pre súčet geometrického radu umožňuje určiť nasledovné: 
$$\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\dots=\frac{1}{2^1}\cdot\frac{1}{1-\frac{1}{2}}=1$$
$$\phantom{\frac{1}{2}+}\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\dots=\frac{1}{2^2}\cdot\frac{1}{1-\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}$$
$$\phantom{\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+}\frac{1}{2^3}+\dots=\frac{1}{2^3}\cdot\frac{1}{1-\frac{1}{2}}=\frac{1}{4}$$
$$\vdots$$
Pri verikálnom sčítaní ľavých strán zistíme, že rad z úlohy korešponduje s konvergentným geometrickým radom s prvým členom $1$ a kvocientom $\frac{1}{2}$, ktorého súčet vieme určiť:  
$$1\cdot\frac{1}{2}+2\cdot\frac{1}{2^2}+3\cdot\frac{1}{2^3}+\dots=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\dots$$
$$=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\dots=1\cdot\frac{1}{1-\frac{1}{2}}=2.$$
Stredná rýchlosť pohybu telesa $T$ je $2$ metre za sekundu.

Integrovanie funkcie jednej reálnej premennej 

Numerické metódy výpočtu integrálov 

Príklad 2: Pomocou lichobežníkovej metódy vypočítajte $\int\limits^1_0{e^{x^2}} \ \mathrm{d}x$ s presnosťou $0,01$.

Riešenie: Vypočítať daný integrál s presnosťou $0,01$ znamená pri výpočte dostať chybu menšiu ako $0,01$, teda $\frac{(b-a)^3}{12n^2}\cdot M_2<0,01.$ Keďže $h=\frac{b-a}{n}$, na určenie kroku $h$ použijeme vzťah
$$\frac{(b-a)}{12}h^2\cdot M_2<0,01,$$
kde
$$M_2=\max\limits_{\left\langle 0;1\right\rangle}|f^{\prime\prime}(x)|.$$
Vyočítame
$$f^{\prime}(x)=e^{x^2}\cdot 2x$$
$$f^{\prime\prime}(x)=e^{x^2}\cdot 4x+2e^{x^2}.$$
Teda
$$f^{\prime\prime}(0)=e^{0}\cdot 4\cdot 0+2\cdot e^{0^2}=2$$
$$f^{\prime\prime}(1)=e^{1^2}\cdot 4 \cdot 1+2\cdot e^{1^2}=4e+2e=6e$$
a keďže
$$M_2=\max\limits_{\left\langle 0;1\right\rangle}|e^{x^2}\cdot 4x+2e^{x^2}|,$$
máme $M_2=6e$.
Po dosadení za $a$, $b$ a $M_2$ do vzťahu
$$\frac{(b-a)}{12}h^2\cdot M_2<0,01$$
 a následnej úprave dostávame
$$h=\frac{1}{12},$$
$$n=\frac{b-a}{h}=12.$$
Do lichobežníkového vzorca
$$\int\limits_a^b {f(x) \ dx} \approx\frac{h}{2}(y_0+ 2y_1+ 2y_2+ \dots + 2y_{n-1}+y_n)$$
teda stačí dosadiť hodnotu $h$ a $13$ ekvidistančných hodnôt funkcie $f(x)=e^{x^2}$ z intervalu $\langle 0; 1\rangle$. Dostávame
$$\int\limits^1_0{e^{x^2}} \ \mathrm{d}x \approx\frac{1}{24}(e^{0}+ 2e^{(1/12)^2}+ 2e^{(2/12)^2}+ \dots + 2e^{(11/12)^2}+e^{1})\doteq 1,4658.$$

Integrovanie funkcie jednej reálnej premennej

Numerické metódy výpočtu integrálov 

Príklad 3: Simpsonovou metódou, pomocou delenia intervalu $\left\langle 1;2\right\rangle$ na $n = 10$ podintervalov, vypočítajte hodnotu integrálu $\displaystyle\int\limits^2_1{x^2e^{x^2}} \ \mathrm{d}x$.
Odhadnite chybu numerického výpočtu.

Riešenie: Približnú hodnotu integrálu $\displaystyle\int\limits_1^2{x^2e^{x^2}}\ \mathrm{d}x$ vypočítame na základe vzťahu
$$\int\limits_a^{b} {f(x) \ dx} \approx \frac{h}{3}\left(y_0+ 4y_1+ 2y_2+ 4y_3+\dots+ 2y_{2m-2}+4y_{2m-1}+y_{2m}\right),$$
kde $h=\frac{b-a}{n}$. V našom prípade $h=\frac{1}{10}=0,1$.

Interval $\left\langle a;b\right\rangle=\left\langle 1;2\right\rangle$ deliacimi bodmi $x_0=1$, $x_1=1,1, \dots,x_{n-1}=1,9$, $x_n=2$ rozdelíme na $10$ ekvidistančných podintervalov. V bodoch $x_0$, $x_1,\dots, x_{n-1}, x_n$ určíme funkčné hodnoty funkcie $f(x)=x^2e^{x^2}$. Dostaneme hodnoty:
$f(1,0)=2,72$
$f(1,1)=4,06$
$f(1,2)=6,08$
$f(1,3)=9,16$
$f(1,4)=13,91$
$f(1,5)=21,35$
$f(1,6)=33,12$
$f(1,7)=52,00$
$f(1,8)=82,73$
$f(1,9)=133,45$
$f(2,0)=218,39$
$$\int\limits_1^2{x^2e^{x^2}}\ \mathrm{d}x \approx\frac{1}{30}\left(2,72+ 4\cdot 4,06+ 2\cdot 6,08 +4\cdot 9,16+ 2\cdot 13,91+ 4\cdot 21,35\right.$$
$$\left. +2\cdot 33,12+ 4\cdot 52,00+ 2\cdot 82,73+ 4\cdot 133,45+ 218,39\right)= 45,76.$$

Pre odhad chyby Simpsonovej metódy využijeme vzorec:
$$\left|R(f)\right|\leq\frac{(b-a)^5}{180n^4}\cdot M_4, \qquad \mathrm{kde} \qquad  M_4=\max\limits_{\left\langle a;b\right\rangle}\left\{|f^{IV}(x)|\right\}.$$
V našom prípade
$$f^{\prime}(x)=\left(x^2e^{x^2}\right)^{\prime}=2xe^{x^2}+x^2e^{x^2}2x=2xe^{x^2}(1+x^2),$$
$$f^{\prime\prime}(x)=\left(2xe^{x^2}(1+x^2)\right)^{\prime}=\dots=2e^{x^2}\left(4x^4+5x^2+1\right),$$
$$f^{\prime\prime\prime}(x)=\left(2e^{x^2}\left(4x^4+5x^2+1\right) \right)^{\prime}=\dots=8e^{x^2}\left(3x^5+9x^3+3x\right),$$
$$f^{(4)}(x)=\left( 8e^{x^2}\left(3x^5+9x^3+3x\right)\right)^{\prime} =\dots=8e^{x^2}\left(8x^6+42x^4+39x^2+6\right).$$
Funkcia $f(x)$ nadobúda na intervale $\left\langle 1;2\right\rangle$ maximum v bode $2$, preto
$$M_4=8e^{2^2}\left(8\cdot 2^6+42\cdot 2^4+39\cdot 2^2+6\right)= 10768e^4$$
$$\left|R(f)\right|\leq \frac{1^5}{180\cdot 10^4}\cdot 10768e^4 \approx 0,327.$$

Výpočet určitého integrálu $\displaystyle\int\limits_1^2{x^2e^{x^2}}\ \mathrm{d}x$ Simpsonovou metódou je vzhľadom na priebeh funkcie $f(x)$ presnejší ako výpočet toho istého integrálu obdĺžnikovou metódou či lichobežníkovou metódou. Skutočná hodnota integrálu sa nachádza v intervale
$$\left\langle 45,76-0,327;45,76+0,327\right\rangle=\left\langle 45,433;46,087\right\rangle.$$

Integrovanie funkcie jednej reálnej premennej 

 

Neurčitý integrál   

 

Funkcia $F(x)$ sa nazýva primitívnou (t. j. pôvodnou) funkciou k funkcii $f(x)$ na intervale $(a,b)$ práve vtedy, ak pre každé $x\in(a,b)$ platí
$$F^{\prime}(x)=f(x).$$
Množinu všetkých primitívnych funkcií $F(x)$ k funkcii $f(x)$ na intervale $(a,b)$
nazývame neurčitým integrálom podintegrálnej funkcie $f(x)$ na intervale $(a,b)$ a zapisujeme
$$\int{f(x)\ \mathrm{d}x} = \{F (x) + C;\ C\in\mathbb{R}\}.$$
Postup, akým možno nájsť k danej funkcii neurčitý integrál, nazývame integrovaním.  Výpočet neurčitého integrálu spočíva v hľadaní primitívnej funkcie k danej funkcii $f(x)$, teda funkcie, ktorú bolo potrebné zderivovať, aby sme dostali funkciu $f(x)$. Z pravidiel pre derivovanie funkcií  možno odvodiť všeobecné pravidlá integrovania funkcií:

Nech funkcie $f$ a $g$ sú integrovateľné a $c\in\mathbb{R}\setminus\{0\}$. Potom aj funkcie $f+g$, $f-g$ a $c\cdot f$, sú integrovateľné a platí:
$$\int{c \cdot f(x)\, \mathrm{d}x}= c\cdot\int{f(x)}\, \mathrm{d}x$$$$\int{\left(f(x) \pm g(x)\right)\, \mathrm{d}x}= \int{f(x)\, \mathrm{d}x} \pm \int{g(x)\, \mathrm{d}x}$$
$$\int{\frac{f^{\prime}(x)}{f(x)}\, \mathrm{d}x}= \ln \left|f(x)\right| + C$$
$$\int{f^{\prime}(x)\cdot g(x)\ dx}=f(x)\cdot g(x)-\int{f(x)\cdot g^{\prime}(x)\ dx}$$

Integrovanie sa opiera o predbežnú znalosť výsledkov derivácií. Je teda nutné, aby sme pri integrovaní poznali dokonalo derivácie alebo difrenciály určitých funkcií.
Z nich vychádzajú takzvané integračné vzorce, ktoré sa popri už menovaných pravidlách využívajú pri integrovaní funkcií:
$$\int{\ \mathrm{d}x}=\int{1\ \mathrm{d}x}=x + C$$
$$\int{x^\alpha\, \mathrm{d}x}=\frac{x^{\alpha + 1}}{\alpha + 1}+ C,\ \mathrm{pre} \ \alpha\neq -1$$
$$\int{a^x\, \mathrm{d}x}=\frac{a^x}{\ln a} + C,\ \mathrm{pre} \ a \neq 1$$
$$\int{\frac{1}{x}\, \mathrm{d}x}= \ln \left|x\right| + C$$
$$\int{\cos x\, \mathrm{d}x}= \sin x + C$$
$$\int{\sin x\, \mathrm{d}x}=- \cos x + C$$
$$\int{\frac{1}{\cos^2 x}\, \mathrm{d}x}= \textrm{tg}\ {x} + C$$
$$\int{\frac{1}{\sin^2 x}\, \mathrm{d}x}= - \textrm{cotg}\ {x} + C$$
$$\int{\frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}}\,\mathrm{d}x}=\begin{cases} &\arcsin\frac{x}{a} + C \\
                                                               -&\arccos\frac{x}{a}+C  \end{cases} $$
$$\int{\frac{\mathrm{d}x}{a^2+x^2}}=\begin{cases}  &\frac{1}{a}\ \textrm{arctg}\ \frac{x}{a}+C \\
                                                               -&\frac{1}{a}\ \textrm{arccotg}\ \frac{x}{a}+C \end{cases}$$
$$\int{\frac{\mathrm{d}x}{a^2-x^2}}=\frac{1}{2a} \ln \left|\frac{a+x}{a-x}\right| + C$$
$$\int{\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{x^2 + k}}}=\ln \left|x + \sqrt{x^2 + k}\right| + C$$

Aj pri integrovaní je potrebné si uvedomiť, že nemá zmysel integrovať funkciu na takom intervale, na ktorom nie je definovaná. Rovnako aj nájdené primitívne funkcie uvažujeme len na takých intervaloch, na ktorých sú definované. V nasledujúcom texte teda pri integrovaní máme za to, že podintegrálne funkcie $f_i(x)$ uvažujeme len na tých intervaloch, kde sú definované, $D_{f_i}(x)$,  a že k nim nájdené primitívne funkcie $F_i(x)$ sú tiež definované. Teda predpokladáme, že $x\in D_f(x)\cap D_F(x)$, kde $D_F(x)$ je definičný obor funkcie $F(x)$, aj keď to explicitne pri jednotlivých riešeniach príkladov a úloh nevyjadrujeme.  

Pri integrovaní sa môžeme často oprieť o známe postupy, ktoré nám pomáhajú dopracovať sa k riešeniu úlohy. Medzi najznámejšie analytické metódy integrovania patria:
integrovanie podľa vzorca, integrovanie rozkladom a úpravou, integrovanie odhadom, integrovanie metódou per partes, integrovanie substitučnou metódou a integrovanie za pomoci rozkladu na parciálne (elementárne) zlomky.

Integrovanie funkcie jednej reálnej premennej

Neurčitý integrál  

Príklad 8: Vypočítajte neurčitý integrál $\displaystyle\int{\frac{1}{x \ln{x}} \ \mathrm{d}x}.$

Riešenie: Pri riešení využijeme substitučnú metódu, pričom substituovať budeme nepolynomický výraz $\ln{x}$. Výpočet samotného integrálu (aj so záverečnou resubstitúciou) bude vyzerať nasledovne:
$$\int{\frac{\ \mathrm{d}x}{x\ln x}}= \left[ \mathrm{Substit.} \  \ln{x}=u, \  \frac{1}{x} \ \mathrm{d}x=1 \ \mathrm{d}u \right]  =\int{\frac{1}{\ln x}\cdot\underbrace{\frac{1}{x}\ \mathrm{d}x}_{\mathrm{d}u}}$$
$$=\int{\frac{1}{u}\ \mathrm{d}u} =\ln {|u|} +C=\ln {|\ln x|} +C.$$

Ak by sme pri voľbe metódy riešenia siahli po integrovaní  podľa vzorca $\displaystyle\int{\frac{f^{\prime}(x)}{f(x)}\ \mathrm{d}x}=\ln|x|+C$, v ktorom $f(x)=\ln x$ a  $\displaystyle{f^{\prime}(x)\ \mathrm{d}x= \frac{1}{x} \ \mathrm{d}x}$, výpočet by vyzeral nasledovne:
$$\int{\frac{\ \mathrm{d}x}{x\ln x}}=\int{\frac{\frac{1}{x} \  \mathrm{d}x}{\ln x}}= \ln {|\ln x|} +C.$$
V oboch prípadoch sa dopracujeme k ekvivalentným výsledkom.  

Integrovanie funkcie jednej reálnej premennej 

Neurčitý integrál 

Príklad 9: Vypočítajte neurčitý integrál $\displaystyle\int{x\cdot e^{-x^2}\mathrm{d}x}.$

Riešenie: Integrovať budeme metódou substitúcie, pričom do  substitúcie vhodne zvolíme vnutornú zložku zloženej funkcie. Postupne dostaneme:
$$\int{x\cdot e^{-x^2}\mathrm{d}x}=\int{ e^{-x^2}\cdot \underbrace{x\ \mathrm{d}x}_{\frac{\mathrm{d}u}{-2}}}=$$
$$\left[ \mathrm{Substit.} \ -x^2=u, -2x\ \mathrm{d}x=\mathrm{d}u \Rightarrow  x\ \mathrm{d}x=\frac{\mathrm{d}u}{-2} \right] $$
$$\int{e^u\ \frac{\mathrm{d}u}{-2}}=-\frac{1}{2}\cdot \int{e^u\ \mathrm{d}u}= -\frac{1}{2}\cdot e^u+C=-\frac{1}{2}\cdot e^{-x^2}+C. $$

Integrovanie funkcie jednej reálnej premennej 

Neurčitý integrál 

Príklad 11: Vypočítajte neurčitý integrál $\displaystyle\int{\frac{2x+5}{x^2-x-2}\ \mathrm{d}x}.$

Riešenie: Daná funkcie je racionálna. V čitateli aj v menovateli tohto zlomku sa nachádza polynóm.
Keďže v čitateli je polynóm prvého stupňa a v menovateli je polynóm druhého stupňa, táto funkcia je rýdzoracionálna. Rozložíme ju na súčet parciálnych zlomkov. Keďže kvadratická rovnica $x^2-x-2=0$ má korene $x_1=2$, $x_2=-1$, reducibilný výraz $x^2-x-2$ možno zapísať v tvare súčinu koreňových činiteľov $x^2-x-2=(x-2)(x+1)$. Potom
$$\int{\frac{2x+5}{x^2-x-2} \ \mathrm{d}x}=\int{ \frac{2x+5}{(x-2)(x+1)}\ \mathrm{d}x}=\int{ \frac{A}{(x-2)}+\frac{B}{(x+1)}\ \mathrm{d}x}.$$
Dva integrály sa rovnajú, ak sa rovnajú podintegrálne funkcie.
$$\frac{2x+5}{x^2-x-2}= \frac{A(x+1)+ B(x-2)}{(x-2)(x+1)}.$$
Zlomky upravíme na rovnakého menovateľa: 
$$\frac{2x+5}{x^2-x-2}= \frac{(A+B) x +A-2B}{x^2-x-2}.$$
Dva zlomky s rovnakým menovateľom sa rovnajú vtedy, ak sa rovnajú ich čitatelia:
$$2x+5 = (A+B)x+A-2B$$
Pomocou porovnania polynómov určíme neurčité koeficienty (táto metóda sa nazýva metóda neurčitých koeficientov). Dva polynómy premennej $x$ sa rovnajú vtedy, ak sa rovnajú koeficienty pri rovnakých mocninách premennej $x$.
Teda
\begin{eqnarray*}
\textrm{koeficient pri} \qquad x^1: \quad 2&=&A+B,\\
\textrm{koeficient pri} \qquad x^0: \quad 5&=&A-2B.
\end{eqnarray*}
Dostali sme sústavu dvoch rovníc o dvoch neznámych. Ľahko vidno, že jej riešením je: $A=3$ a $B=-1$. Potom 
$$\int{\frac{2x+5}{x^2-x-2}\ \mathrm{d}x}= \int{\frac{3}{(x-2)}\ \mathrm{d}x}+\int{\frac{-1}{(x+1)}\ \mathrm{d}x}$$
$$=3\cdot \int{\frac{1}{(x-2)}\ \mathrm{d}x}-\int{\frac{1}{(x+1)}\ \mathrm{d}x}.$$
Využitím vzťahu $\displaystyle{\int{\frac{f^{\prime}(x)}{f(x)}\ \mathrm{d}x}=\ln{|f(x)|+C}}$ môžeme zapísať:
$$\int{\frac{2x+5}{x^2-x-2}\ \mathrm{d}x}=3\cdot\ln\left|x-2\right|-\ln\left|x+1\right|+C=\ln\frac{(\left|x-2\right|)^3}{\left|x+1\right|}+C. $$

Integrovanie funkcie jednej reálnej premennej 

Neurčitý integrál 

Príklad 12: Vypočítajte neurčitý integrál $\displaystyle\int{\frac{1}{(x-1)(x^2+4)}\ \mathrm{d}x}.$

Riešenie: Funkcia $\displaystyle \frac{1}{(x-1)(x^2+4)}$ je rýdzoracionálna, v čitateli je polynóm nultého stupňa a v menovateli polynóm tretieho stupňa. Integovať budeme za pomoci \textbf{rozkladu na parciálne zlomky}.
Polynóm $x^2+4$ je ireducibilný nad $\mathbb{R}$. Preto v menovateli druhého parciálneho zlomku vystupuje on sám a v čitateli vystupuje všeobecný tvar polynómu prvého stupňa.
Rozklad na parciálne zlomky hľadáme v tvare:
$$\frac{1}{(x-1)(x^2+4)}=\frac{A}{x-1}+\frac{Bx+C}{x^2+4},$$
kde $A$, $B$, $C\in\mathbb{R}$ sú neurčité koeficienty, ktoré vypočítame metódou neurčitých koeficientov. Postavíme do rovnosti
\begin{eqnarray*}
\frac{1}{(x-1)(x^2+4)}&=&\frac{A}{x-1}+\frac{Bx+C}{x^2+4}\\\frac{1}{(x-1)(x^2+4)}&=&\frac{A(x^2+4)+(Bx+C)(x-1)}{(x-1)(x^2+4)}\\
\frac{1}{(x-1)(x^2+4)}&=&\frac{Ax^2+4A+Bx^2-Bx+Cx-C}{(x-1)(x^2+4)}
\end{eqnarray*} 
Aby sa zlomky rovnali, musí platiť:
\begin{eqnarray*}
1&=&Ax^2+4A+Bx^2-Bx+Cx-C\\
0x^2+0x+1&=&(A+B)x^2+(C-B)x+(4A-C)
\end{eqnarray*}
Porovnaním koeficientov pri rovnakých mocninách $x$ dostaneme sústavu troch lineárnych rovníc o troch neznámych:
\begin{eqnarray*}
\textrm{koeficient pri} \qquad x^2: \phantom{4}A+B&=&0,\\
\textrm{koeficient pri} \qquad x^1: \phantom{4}C-B&=&0,\\
\textrm{koeficient pri} \qquad x^0: 4A-C&=&1.
\end{eqnarray*}
Jej riešením je $\displaystyle{A=\frac{1}{5}}$, $\displaystyle{B=-\frac{1}{5}}$, $\displaystyle{C=-\frac{1}{5}}$. Potom
$$\int{\frac{1}{(x-1)(x^2+4)}\ \mathrm{d}x}=\int{\frac{\frac{1}{5}}{x-1}\ \mathrm{d}x}+\int{\frac{-\frac{1}{5}x-\frac{1}{5}}{x^2+4}\ \mathrm{d}x}$$
$$=\frac{1}{5}\int{\frac{1}{x-1}\ \mathrm{d}x}-\frac{1}{5}\int{\frac{x+1}{x^2+4}\ \mathrm{d}x}$$
$$=\frac{1}{5}\int{\frac{1}{x-1}\ \mathrm{d}x}-\frac{1}{5}\int{\frac{x}{x^2+4}\ \mathrm{d}x}-\frac{1}{5}\int{\frac{1}{x^2+4}\ \mathrm{d}x}$$
$$=\frac{1}{5}\ln\left|x-1\right|-\frac{1}{10}\ln\left|x^2+4\right|-\frac{1}{10}\mathrm{arctg} \frac{x}{2}+C_0. $$

Integrovanie funkcie jednej reálnej premennej

Určitý integrál   

Nech je funkcia $f(x)$ integrovateľná na intervale $\langle a; b\rangle$  a nech k nej na intervale  $(a;b)$ existuje primitívna funkcia  $F(x)$, pričom funkcia $F(x)$ je spojitá na  $\langle a; b\rangle$. Potom
$$\int_a^b f(x)\ \mathrm{d}x=\left[F(x)\right]_a^b=F(b)-F(a).$$
Hore uvedená rovnica sa nazýva Newton-Leibnizova formula a charakterizuje vzťah medzi určitým a neurčitým integrálom. Hovorí, že pri výpočte určitého integrálu z funkcie $f(x)$ stačí k funkcii $f(x)$ nájsť primitívnu funkciu $F(x)$, teda vypočítať neurčitý integrál $\int f(x)\ \mathrm{d}x$, a číslo predstavujúce $\int_a^b f(x)\ \mathrm{d}x$ zrátať ako rozdiel funkčnej hodnoty funkcie $F(x)$ v hornej hranici integrálu, $F(b)$, a funkčnej hodnoty funkcie $F(x)$ v dolnej hranici integrálu, $F(a)$. Hodnota určitého integrálu nezávisí na konkrétnej voľbe primitívnej funkcie $F(x)$, nakoľko všetky primitívne funkcie k funkcii $f(x)$ sa od seba líšia len o konštantu.

Integrovanie funkcie jednej reálnej premennej

Určitý integrál   

Príklad 2: Vypočítajte určitý integrál $\displaystyle\int\limits_{-1}^3{|x|\ \mathrm{d}x}.$

Riešenie: Funkcia $|x|$ je spojitá na celom svojom definičnom obore, je teda  integrovateľná na $\mathbb{R}$. Výpočet integrálu vykonáme v línii metódy rozkladu a úpravy. Uvedomíme si, že pre $x\geq 0$ je $|x|=(x)$ a pre $x\le 0$ je $|x|=-(x)$. Preto zadaný integrál rozložíme na súčet dvoch integrálov, z ktorých každý následne vypočítame podľa vzorca a získanú primitívnu funkciu dosadíme do Newton-Leibnitzovej formuly: 
$$\int_{-1}^3{|x|\ \mathrm{d}x}=\int_{-1}^0{|x|\ \mathrm{d}x}+\int_0^3{|x|\ \mathrm{d}x}=\int_{-1}^0{-(x)\ \mathrm{d}x}+\int_0^3{(x)\ \mathrm{d}x}$$
$$=-\left[\frac{x^2}{2}\right]_{-1}^0+\left[\frac{x^2}{2}\right]_0^3=-\left(\frac{0^2}{2}-\frac{(-1)^2}{2}\right)+\left(\frac{3^2}{2}-\frac{0^2}{2}\right)$$
$$=-\left(\frac{0}{2}-\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{9}{2}-\frac{0}{2}\right)=-\left(-\frac{1}{2}\right)+\frac{9}{2}=\frac{10}{2}=5.$$

Integrovanie funkcie jednej reálnej premennej

Určitý integrál  

Príklad 5: Vypočítajte obsah časti roviny ohraničenej krivkami: $y=x^3$,  $y=x$ (pre $x\in\langle -1; 1\rangle$).

Riešenie: Ak sú funkcie $f(x)$ a $g(x)$ spojité na intervale $\left\langle a,b\right\rangle$ a platí $g(x)\leq f(x)$, tak plošný obsah $P$ množiny bodov v rovine, ktoré spĺňajú nerovnosti $a\leq x\leq b$ a $g(x)\leq y \leq f(x)$} je daný vzťahom
$$\displaystyle P=\int\limits_{a}^b{\left(f(x)-g(x)\right)\ \mathrm{d}x}.$$
V našom prípade je potrebné si uvedomiť, že pre $x>0$ leží priamka $y=x$ nad krivkou $y=x^3$, teda vo vzorci na výpočet obsahu časti roviny ohraničenej krivkami je $f(x)=x$ a $g(x)=x^3$, kým pre $x<0$ je to opačne, keďže krivka $y=x^3$ leží nad priamkou $y=x$. Obe funkcie sú však spojité, teda integrovateľné. Hranice integrovania možno nájsť ako priesečníky kriviek $y=x^3$ a $y=x$, teda riešením rovnice $x^3=x$ odkiaľ
$$x^3-x=x(x^2-1)=x(x-1)(x+1)=0$$
 dáva riešenie len pre $x\in\{-1,0,1\}$.  Preto môžeme písať:
$$P=\int_{-1}^{0^{-}} {x^3-x \ \mathrm{d}x}+\int_{0}^1 {x-x^3 \ \mathrm{d}x}=\lim_{b\to 0^{-}}\int_{-1}^{b} {x^3-x \ \mathrm{d}x}+\int_{0}^1 {x-x^3 \ \mathrm{d}x}=$$
$$\lim_{b\to 0^{-}}\left[\frac{x^4}{4}-\frac{x^2}{2}\right]_{-1}^b+\left[\frac{x^2}{2}-\frac{x^4}{4}\right]_0^1=$$
$$\lim_{b\to 0^{-}}\left(\left(\frac{b^4}{4}-\frac{b^2}{2}\right)-\left(\frac{(-1)^4}{4}-\frac{(-1)^2}{2}\right)\right)+\left(\left(\frac{1^2}{2}-\frac{1^4}{4}\right)-\left(\frac{0^2}{2}-\frac{0^4}{4}\right)\right)$$
$$=\left(0-\left(-\frac{1}{4}\right)\right)+\left(\frac{1}{4}-0\right)=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}.$$